Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33145 / 33400
↖ ↑ ↗
← S  3.469557°
E  2.070923°		 ← 609.73 m → S  3.469557°
E  2.076416°		 →
↑
609.70 m
↓
↑
609.70 m
↓
S  3.475041°
E  2.070923°		 ← 609.73 m →
371 755 m²		 S  3.475041°
E  2.076416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505760192871094 y=0.509651184082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505760192871094 × 216)
    floor (0.505760192871094 × 65536)
    floor (33145.5)     		tx = 33145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.509651184082031 × 216)
    floor (0.509651184082031 × 65536)
    floor (33400.5)     		ty = 33400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33145 / 33400 ti = "16/33145/33400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33145/33400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33145 ÷ 216
    33145 ÷ 65536     		x = 0.505752563476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33400 ÷ 216
    33400 ÷ 65536     		y = 0.5096435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505752563476562 × 2 - 1) × π
    0.011505126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.03614442
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5096435546875 × 2 - 1) × π
    -0.019287109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.060592241119751
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03614442} λ = 0.03614442}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.060592241119751))-π/2
    2×atan(0.941206947031477)-π/2
    2×0.755120564135794-π/2
    1.51024112827159-1.57079632675     		φ = -0.06055520
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03614442} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.070923°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06055520 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.469557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33145 KachelY 33400 0.03614442 -0.06055520 2.070923 -3.469557
    Oben rechts KachelX + 1 33146 KachelY 33400 0.03624030 -0.06055520 2.076416 -3.469557
    Unten links KachelX 33145 KachelY + 1 33401 0.03614442 -0.06065090 2.070923 -3.475041
    Unten rechts KachelX + 1 33146 KachelY + 1 33401 0.03624030 -0.06065090 2.076416 -3.475041
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06055520--0.06065090) × R
    9.56999999999972e-05 × 6371000     		dl = 609.704699999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06055520--0.06065090) × R
    9.56999999999972e-05 × 6371000     		dr = 609.704699999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03614442-0.03624030) × cos(-0.06055520) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.99816709407434 × 6371000     		do = 609.731846702651m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03614442-0.03624030) × cos(-0.06065090) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.998161297911935 × 6371000     		du = 609.728306108268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06055520)-sin(-0.06065090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99816709407434-0.998161297911935)×R²
    abs(0.03624030-0.03614442)×5.79616240570235e-06×R²
    9.58800000000065e-05×5.79616240570235e-06×6371000²
    9.58800000000065e-05×5.79616240570235e-06×40589641000000     		ar = 371755.293599495m²