Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33144 / 33398
↖ ↑ ↗
← S  3.458591°
E  2.065430°		 ← 609.68 m → S  3.458591°
E  2.070923°		 →
↑
609.70 m
↓
↑
609.70 m
↓
S  3.464074°
E  2.065430°		 ← 609.67 m →
371 721 m²		 S  3.464074°
E  2.070923°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505744934082031 y=0.509620666503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505744934082031 × 216)
    floor (0.505744934082031 × 65536)
    floor (33144.5)     		tx = 33144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.509620666503906 × 216)
    floor (0.509620666503906 × 65536)
    floor (33398.5)     		ty = 33398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33144 / 33398 ti = "16/33144/33398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33144/33398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33144 ÷ 216
    33144 ÷ 65536     		x = 0.5057373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33398 ÷ 216
    33398 ÷ 65536     		y = 0.509613037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5057373046875 × 2 - 1) × π
    0.011474609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.03604855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.509613037109375 × 2 - 1) × π
    -0.01922607421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0604004935212708
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03604855} λ = 0.03604855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0604004935212708))-π/2
    2×atan(0.941387438507094)-π/2
    2×0.755216262762056-π/2
    1.51043252552411-1.57079632675     		φ = -0.06036380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03604855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.065430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06036380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.458591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33144 KachelY 33398 0.03604855 -0.06036380 2.065430 -3.458591
    Oben rechts KachelX + 1 33145 KachelY 33398 0.03614442 -0.06036380 2.070923 -3.458591
    Unten links KachelX 33144 KachelY + 1 33399 0.03604855 -0.06045950 2.065430 -3.464074
    Unten rechts KachelX + 1 33145 KachelY + 1 33399 0.03614442 -0.06045950 2.070923 -3.464074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06036380--0.06045950) × R
    9.56999999999972e-05 × 6371000     		dl = 609.704699999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06036380--0.06045950) × R
    9.56999999999972e-05 × 6371000     		dr = 609.704699999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03604855-0.03614442) × cos(-0.06036380) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998178658973988 × 6371000     		do = 609.6753171763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03604855-0.03614442) × cos(-0.06045950) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998172881095043 × 6371000     		du = 609.671788118503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06036380)-sin(-0.06045950))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998178658973988-0.998172881095043)×R²
    abs(0.03614442-0.03604855)×5.77787894595616e-06×R²
    9.58699999999979e-05×5.77787894595616e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×5.77787894595616e-06×40589641000000     		ar = 371720.830798493m²