Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33141 / 33419
↖ ↑ ↗
← S  3.573730°
E  2.048950°		 ← 609.60 m → S  3.573730°
E  2.054443°		 →
↑
609.64 m
↓
↑
609.64 m
↓
S  3.579213°
E  2.048950°		 ← 609.60 m →
371 636 m²		 S  3.579213°
E  2.054443°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33419 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505699157714844 y=0.509941101074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505699157714844 × 216)
    floor (0.505699157714844 × 65536)
    floor (33141.5)     		tx = 33141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.509941101074219 × 216)
    floor (0.509941101074219 × 65536)
    floor (33419.5)     		ty = 33419
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33141 / 33419 ti = "16/33141/33419"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33141/33419.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33141 ÷ 216
    33141 ÷ 65536     		x = 0.505691528320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33419 ÷ 216
    33419 ÷ 65536     		y = 0.509933471679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505691528320312 × 2 - 1) × π
    0.011383056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.03576093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.509933471679688 × 2 - 1) × π
    -0.019866943359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0624138433053131
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03576093} λ = 0.03576093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0624138433053131))-π/2
    2×atan(0.939494003024634)-π/2
    2×0.754211483066059-π/2
    1.50842296613212-1.57079632675     		φ = -0.06237336
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03576093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.048950°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06237336 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.573730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33141 KachelY 33419 0.03576093 -0.06237336 2.048950 -3.573730
    Oben rechts KachelX + 1 33142 KachelY 33419 0.03585680 -0.06237336 2.054443 -3.573730
    Unten links KachelX 33141 KachelY + 1 33420 0.03576093 -0.06246905 2.048950 -3.579213
    Unten rechts KachelX + 1 33142 KachelY + 1 33420 0.03585680 -0.06246905 2.054443 -3.579213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06237336--0.06246905) × R
    9.56899999999955e-05 × 6371000     		dl = 609.640989999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06237336--0.06246905) × R
    9.56899999999955e-05 × 6371000     		dr = 609.640989999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03576093-0.03585680) × cos(-0.06237336) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998055412544901 × 6371000     		do = 609.600039764717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03576093-0.03585680) × cos(-0.06246905) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.99804944333797 × 6371000     		du = 609.596393846127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06237336)-sin(-0.06246905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998055412544901-0.99804944333797)×R²
    abs(0.03585680-0.03576093)×5.96920693152203e-06×R²
    9.58699999999979e-05×5.96920693152203e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×5.96920693152203e-06×40589641000000     		ar = 371636.060679069m²