Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33140 / 22130
↖ ↑ ↗
← N 50.338449°
E  2.043457°		 ← 389.88 m → N 50.338449°
E  2.048950°		 →
↑
389.84 m
↓
↑
389.84 m
↓
N 50.334943°
E  2.043457°		 ← 389.91 m →
151 996 m²		 N 50.334943°
E  2.048950°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22130 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505683898925781 y=0.337684631347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505683898925781 × 216)
    floor (0.505683898925781 × 65536)
    floor (33140.5)     		tx = 33140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337684631347656 × 216)
    floor (0.337684631347656 × 65536)
    floor (22130.5)     		ty = 22130
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33140 / 22130 ti = "16/33140/22130"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33140/22130.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33140 ÷ 216
    33140 ÷ 65536     		x = 0.50567626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22130 ÷ 216
    22130 ÷ 65536     		y = 0.337677001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50567626953125 × 2 - 1) × π
    0.0113525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.03566505
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337677001953125 × 2 - 1) × π
    0.32464599609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.01990547631631
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03566505} λ = 0.03566505}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01990547631631))-π/2
    2×atan(2.77293264376811)-π/2
    2×1.22468400010288-π/2
    2.44936800020576-1.57079632675     		φ = 0.87857167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03566505} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.043457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87857167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.338449°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33140 KachelY 22130 0.03566505 0.87857167 2.043457 50.338449
    Oben rechts KachelX + 1 33141 KachelY 22130 0.03576093 0.87857167 2.048950 50.338449
    Unten links KachelX 33140 KachelY + 1 22131 0.03566505 0.87851048 2.043457 50.334943
    Unten rechts KachelX + 1 33141 KachelY + 1 22131 0.03576093 0.87851048 2.048950 50.334943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87857167-0.87851048) × R
    6.11900000000443e-05 × 6371000     		dl = 389.841490000282m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87857167-0.87851048) × R
    6.11900000000443e-05 × 6371000     		dr = 389.841490000282m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03566505-0.03576093) × cos(0.87857167) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.638251363352774 × 6371000     		do = 389.876789916087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03566505-0.03576093) × cos(0.87851048) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.638298467935081 × 6371000     		du = 389.905563819903m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87857167)-sin(0.87851048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638251363352774-0.638298467935081)×R²
    abs(0.03576093-0.03566505)×4.71045823066119e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.71045823066119e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.71045823066119e-05×40589641000000     		ar = 151995.757375412m²