Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33127 / 33401
↖ ↑ ↗
← S  3.475041°
E  1.972046°		 ← 609.73 m → S  3.475041°
E  1.977539°		 →
↑
609.64 m
↓
↑
609.64 m
↓
S  3.480523°
E  1.972046°		 ← 609.72 m →
371 714 m²		 S  3.480523°
E  1.977539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505485534667969 y=0.509666442871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505485534667969 × 216)
    floor (0.505485534667969 × 65536)
    floor (33127.5)     		tx = 33127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.509666442871094 × 216)
    floor (0.509666442871094 × 65536)
    floor (33401.5)     		ty = 33401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33127 / 33401 ti = "16/33127/33401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33127/33401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33127 ÷ 216
    33127 ÷ 65536     		x = 0.505477905273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33401 ÷ 216
    33401 ÷ 65536     		y = 0.509658813476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505477905273438 × 2 - 1) × π
    0.010955810546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.03441869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.509658813476562 × 2 - 1) × π
    -0.019317626953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0606881149189911
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03441869} λ = 0.03441869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0606881149189911))-π/2
    2×atan(0.941116714271142)-π/2
    2×0.755072715238882-π/2
    1.51014543047776-1.57079632675     		φ = -0.06065090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03441869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.972046°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06065090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.475041°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33127 KachelY 33401 0.03441869 -0.06065090 1.972046 -3.475041
    Oben rechts KachelX + 1 33128 KachelY 33401 0.03451457 -0.06065090 1.977539 -3.475041
    Unten links KachelX 33127 KachelY + 1 33402 0.03441869 -0.06074659 1.972046 -3.480523
    Unten rechts KachelX + 1 33128 KachelY + 1 33402 0.03451457 -0.06074659 1.977539 -3.480523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06065090--0.06074659) × R
    9.56900000000024e-05 × 6371000     		dl = 609.640990000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06065090--0.06074659) × R
    9.56900000000024e-05 × 6371000     		dr = 609.640990000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03441869-0.03451457) × cos(-0.06065090) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.998161297911935 × 6371000     		do = 609.728306108223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03441869-0.03451457) × cos(-0.06074659) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.998155493214971 × 6371000     		du = 609.724760300492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06065090)-sin(-0.06074659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998161297911935-0.998155493214971)×R²
    abs(0.03451457-0.03441869)×5.80469696354058e-06×R²
    9.58799999999996e-05×5.80469696354058e-06×6371000²
    9.58799999999996e-05×5.80469696354058e-06×40589641000000     		ar = 371714.287615605m²