Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33123 / 22219
↖ ↑ ↗
← N 50.025387°
E  1.950073°		 ← 392.40 m → N 50.025387°
E  1.955566°		 →
↑
392.39 m
↓
↑
392.39 m
↓
N 50.021859°
E  1.950073°		 ← 392.43 m →
153 979 m²		 N 50.021859°
E  1.955566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505424499511719 y=0.339042663574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505424499511719 × 216)
    floor (0.505424499511719 × 65536)
    floor (33123.5)     		tx = 33123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339042663574219 × 216)
    floor (0.339042663574219 × 65536)
    floor (22219.5)     		ty = 22219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33123 / 22219 ti = "16/33123/22219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33123/22219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33123 ÷ 216
    33123 ÷ 65536     		x = 0.505416870117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22219 ÷ 216
    22219 ÷ 65536     		y = 0.339035034179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505416870117188 × 2 - 1) × π
    0.010833740234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.03403520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339035034179688 × 2 - 1) × π
    0.321929931640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01137270818394
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03403520} λ = 0.03403520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01137270818394))-π/2
    2×atan(2.74937251199023)-π/2
    2×1.22195202516823-π/2
    2.44390405033645-1.57079632675     		φ = 0.87310772
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03403520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.950073°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87310772 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.025387°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33123 KachelY 22219 0.03403520 0.87310772 1.950073 50.025387
    Oben rechts KachelX + 1 33124 KachelY 22219 0.03413107 0.87310772 1.955566 50.025387
    Unten links KachelX 33123 KachelY + 1 22220 0.03403520 0.87304613 1.950073 50.021859
    Unten rechts KachelX + 1 33124 KachelY + 1 22220 0.03413107 0.87304613 1.955566 50.021859
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87310772-0.87304613) × R
    6.15900000000558e-05 × 6371000     		dl = 392.389890000355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87310772-0.87304613) × R
    6.15900000000558e-05 × 6371000     		dr = 392.389890000355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03403520-0.03413107) × cos(0.87310772) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.642448116899012 × 6371000     		do = 392.399452661439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03403520-0.03413107) × cos(0.87304613) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.64249531389487 × 6371000     		du = 392.428280009289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87310772)-sin(0.87304613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642448116899012-0.64249531389487)×R²
    abs(0.03413107-0.03403520)×4.71969958579788e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71969958579788e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71969958579788e-05×40589641000000     		ar = 153979.233894561m²