Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33122 / 22228
↖ ↑ ↗
← N 49.993615°
E  1.944580°		 ← 392.70 m → N 49.993615°
E  1.950073°		 →
↑
392.64 m
↓
↑
392.64 m
↓
N 49.990084°
E  1.944580°		 ← 392.73 m →
154 197 m²		 N 49.990084°
E  1.950073°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505409240722656 y=0.339179992675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505409240722656 × 216)
    floor (0.505409240722656 × 65536)
    floor (33122.5)     		tx = 33122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339179992675781 × 216)
    floor (0.339179992675781 × 65536)
    floor (22228.5)     		ty = 22228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33122 / 22228 ti = "16/33122/22228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33122/22228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33122 ÷ 216
    33122 ÷ 65536     		x = 0.505401611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22228 ÷ 216
    22228 ÷ 65536     		y = 0.33917236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505401611328125 × 2 - 1) × π
    0.01080322265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.03393932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33917236328125 × 2 - 1) × π
    0.3216552734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.01050984399078
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03393932} λ = 0.03393932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01050984399078))-π/2
    2×atan(2.74700120010316)-π/2
    2×1.22167476078681-π/2
    2.44334952157362-1.57079632675     		φ = 0.87255319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03393932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.944580°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87255319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.993615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33122 KachelY 22228 0.03393932 0.87255319 1.944580 49.993615
    Oben rechts KachelX + 1 33123 KachelY 22228 0.03403520 0.87255319 1.950073 49.993615
    Unten links KachelX 33122 KachelY + 1 22229 0.03393932 0.87249156 1.944580 49.990084
    Unten rechts KachelX + 1 33123 KachelY + 1 22229 0.03403520 0.87249156 1.950073 49.990084
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87255319-0.87249156) × R
    6.16299999999237e-05 × 6371000     		dl = 392.644729999514m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87255319-0.87249156) × R
    6.16299999999237e-05 × 6371000     		dr = 392.644729999514m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03393932-0.03403520) × cos(0.87255319) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.642872970621692 × 6371000     		do = 392.699905556255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03393932-0.03403520) × cos(0.87249156) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.642920176304963 × 6371000     		du = 392.728741217746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87255319)-sin(0.87249156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642872970621692-0.642920176304963)×R²
    abs(0.03403520-0.03393932)×4.72056832708789e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.72056832708789e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.72056832708789e-05×40589641000000     		ar = 154197.209521647m²