Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33119 / 22304
↖ ↑ ↗
← N 49.724479°
E  1.928100°		 ← 394.89 m → N 49.724479°
E  1.933594°		 →
↑
394.87 m
↓
↑
394.87 m
↓
N 49.720928°
E  1.928100°		 ← 394.92 m →
155 939 m²		 N 49.720928°
E  1.933594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33119 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505363464355469 y=0.340339660644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505363464355469 × 216)
    floor (0.505363464355469 × 65536)
    floor (33119.5)     		tx = 33119
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340339660644531 × 216)
    floor (0.340339660644531 × 65536)
    floor (22304.5)     		ty = 22304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33119 / 22304 ti = "16/33119/22304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33119/22304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33119 ÷ 216
    33119 ÷ 65536     		x = 0.505355834960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22304 ÷ 216
    22304 ÷ 65536     		y = 0.34033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505355834960938 × 2 - 1) × π
    0.010711669921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.03365170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34033203125 × 2 - 1) × π
    0.3193359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.00322343524854
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03365170} λ = 0.03365170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00322343524854))-π/2
    2×atan(2.72705817130756)-π/2
    2×1.2193261037294-π/2
    2.4386522074588-1.57079632675     		φ = 0.86785588
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03365170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.928100°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86785588 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.724479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33119 KachelY 22304 0.03365170 0.86785588 1.928100 49.724479
    Oben rechts KachelX + 1 33120 KachelY 22304 0.03374758 0.86785588 1.933594 49.724479
    Unten links KachelX 33119 KachelY + 1 22305 0.03365170 0.86779390 1.928100 49.720928
    Unten rechts KachelX + 1 33120 KachelY + 1 22305 0.03374758 0.86779390 1.933594 49.720928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86785588-0.86779390) × R
    6.1980000000017e-05 × 6371000     		dl = 394.874580000108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86785588-0.86779390) × R
    6.1980000000017e-05 × 6371000     		dr = 394.874580000108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03365170-0.03374758) × cos(0.86785588) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.646463876730745 × 6371000     		do = 394.893415867511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03365170-0.03374758) × cos(0.86779390) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.646511162795053 × 6371000     		du = 394.922300629877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86785588)-sin(0.86779390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646463876730745-0.646511162795053)×R²
    abs(0.03374758-0.03365170)×4.72860643081496e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.72860643081496e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.72860643081496e-05×40589641000000     		ar = 155939.074714878m²