Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33115 / 22180
↖ ↑ ↗
← N 50.162825°
E  1.906128°		 ← 391.28 m → N 50.162825°
E  1.911621°		 →
↑
391.31 m
↓
↑
391.31 m
↓
N 50.159305°
E  1.906128°		 ← 391.30 m →
153 114 m²		 N 50.159305°
E  1.911621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33115 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505302429199219 y=0.338447570800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505302429199219 × 216)
    floor (0.505302429199219 × 65536)
    floor (33115.5)     		tx = 33115
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338447570800781 × 216)
    floor (0.338447570800781 × 65536)
    floor (22180.5)     		ty = 22180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33115 / 22180 ti = "16/33115/22180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33115/22180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33115 ÷ 216
    33115 ÷ 65536     		x = 0.505294799804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22180 ÷ 216
    22180 ÷ 65536     		y = 0.33843994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505294799804688 × 2 - 1) × π
    0.010589599609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.03326821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33843994140625 × 2 - 1) × π
    0.3231201171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.01511178635431
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03326821} λ = 0.03326821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01511178635431))-π/2
    2×atan(2.75967187379209)-π/2
    2×1.22315138675048-π/2
    2.44630277350095-1.57079632675     		φ = 0.87550645
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03326821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.906128°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87550645 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.162825°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33115 KachelY 22180 0.03326821 0.87550645 1.906128 50.162825
    Oben rechts KachelX + 1 33116 KachelY 22180 0.03336408 0.87550645 1.911621 50.162825
    Unten links KachelX 33115 KachelY + 1 22181 0.03326821 0.87544503 1.906128 50.159305
    Unten rechts KachelX + 1 33116 KachelY + 1 22181 0.03336408 0.87544503 1.911621 50.159305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87550645-0.87544503) × R
    6.14200000000897e-05 × 6371000     		dl = 391.306820000572m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87550645-0.87544503) × R
    6.14200000000897e-05 × 6371000     		dr = 391.306820000572m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03326821-0.03336408) × cos(0.87550645) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.640608053568081 × 6371000     		do = 391.27556448288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03326821-0.03336408) × cos(0.87544503) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.640655214814542 × 6371000     		du = 391.304369995437m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87550645)-sin(0.87544503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640608053568081-0.640655214814542)×R²
    abs(0.03336408-0.03326821)×4.71612464610915e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71612464610915e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71612464610915e-05×40589641000000     		ar = 153114.43282668m²