Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33112 / 22140
↖ ↑ ↗
← N 50.303376°
E  1.889649°		 ← 390.12 m → N 50.303376°
E  1.895142°		 →
↑
390.16 m
↓
↑
390.16 m
↓
N 50.299867°
E  1.889649°		 ← 390.15 m →
152 216 m²		 N 50.299867°
E  1.895142°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505256652832031 y=0.337837219238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505256652832031 × 216)
    floor (0.505256652832031 × 65536)
    floor (33112.5)     		tx = 33112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337837219238281 × 216)
    floor (0.337837219238281 × 65536)
    floor (22140.5)     		ty = 22140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33112 / 22140 ti = "16/33112/22140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33112/22140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33112 ÷ 216
    33112 ÷ 65536     		x = 0.5052490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22140 ÷ 216
    22140 ÷ 65536     		y = 0.33782958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5052490234375 × 2 - 1) × π
    0.010498046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.03298059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33782958984375 × 2 - 1) × π
    0.3243408203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.01894673832391
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03298059} λ = 0.03298059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01894673832391))-π/2
    2×atan(2.77027540189507)-π/2
    2×1.22437792927193-π/2
    2.44875585854385-1.57079632675     		φ = 0.87795953
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03298059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.889649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87795953 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.303376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33112 KachelY 22140 0.03298059 0.87795953 1.889649 50.303376
    Oben rechts KachelX + 1 33113 KachelY 22140 0.03307646 0.87795953 1.895142 50.303376
    Unten links KachelX 33112 KachelY + 1 22141 0.03298059 0.87789829 1.889649 50.299867
    Unten rechts KachelX + 1 33113 KachelY + 1 22141 0.03307646 0.87789829 1.895142 50.299867
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87795953-0.87789829) × R
    6.12400000000735e-05 × 6371000     		dl = 390.160040000468m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87795953-0.87789829) × R
    6.12400000000735e-05 × 6371000     		dr = 390.160040000468m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03298059-0.03307646) × cos(0.87795953) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.63872248627289 × 6371000     		do = 390.123883039493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03298059-0.03307646) × cos(0.87789829) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.638769605408511 × 6371000     		du = 390.152662831264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87795953)-sin(0.87789829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63872248627289-0.638769605408511)×R²
    abs(0.03307646-0.03298059)×4.71191356214984e-05×R²
    9.58700000000048e-05×4.71191356214984e-05×6371000²
    9.58700000000048e-05×4.71191356214984e-05×40589641000000     		ar = 152216.364221561m²