Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33106 / 22202
↖ ↑ ↗
← N 50.085345°
E  1.856689°		 ← 391.95 m → N 50.085345°
E  1.862183°		 →
↑
391.94 m
↓
↑
391.94 m
↓
N 50.081820°
E  1.856689°		 ← 391.98 m →
153 628 m²		 N 50.081820°
E  1.862183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22202 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505165100097656 y=0.338783264160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505165100097656 × 216)
    floor (0.505165100097656 × 65536)
    floor (33106.5)     		tx = 33106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338783264160156 × 216)
    floor (0.338783264160156 × 65536)
    floor (22202.5)     		ty = 22202
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33106 / 22202 ti = "16/33106/22202"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33106/22202.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33106 ÷ 216
    33106 ÷ 65536     		x = 0.505157470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22202 ÷ 216
    22202 ÷ 65536     		y = 0.338775634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505157470703125 × 2 - 1) × π
    0.01031494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.03240534
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338775634765625 × 2 - 1) × π
    0.32244873046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.01300256277103
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03240534} λ = 0.03240534}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01300256277103))-π/2
    2×atan(2.75385724312752)-π/2
    2×1.22247524675433-π/2
    2.44495049350867-1.57079632675     		φ = 0.87415417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03240534} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.856689°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87415417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.085345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33106 KachelY 22202 0.03240534 0.87415417 1.856689 50.085345
    Oben rechts KachelX + 1 33107 KachelY 22202 0.03250122 0.87415417 1.862183 50.085345
    Unten links KachelX 33106 KachelY + 1 22203 0.03240534 0.87409265 1.856689 50.081820
    Unten rechts KachelX + 1 33107 KachelY + 1 22203 0.03250122 0.87409265 1.862183 50.081820
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87415417-0.87409265) × R
    6.15199999999261e-05 × 6371000     		dl = 391.943919999529m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87415417-0.87409265) × R
    6.15199999999261e-05 × 6371000     		dr = 391.943919999529m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03240534-0.03250122) × cos(0.87415417) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.64164584011275 × 6371000     		do = 391.950311068715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03240534-0.03250122) × cos(0.87409265) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.641693024803301 × 6371000     		du = 391.979133906771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87415417)-sin(0.87409265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64164584011275-0.641693024803301)×R²
    abs(0.03250122-0.03240534)×4.71846905514273e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.71846905514273e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.71846905514273e-05×40589641000000     		ar = 153628.18988196m²