Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33092 / 22220
↖ ↑ ↗
← N 50.021859°
E  1.779785°		 ← 392.43 m → N 50.021859°
E  1.785278°		 →
↑
392.45 m
↓
↑
392.45 m
↓
N 50.018329°
E  1.779785°		 ← 392.46 m →
154 016 m²		 N 50.018329°
E  1.785278°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504951477050781 y=0.339057922363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504951477050781 × 216)
    floor (0.504951477050781 × 65536)
    floor (33092.5)     		tx = 33092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339057922363281 × 216)
    floor (0.339057922363281 × 65536)
    floor (22220.5)     		ty = 22220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33092 / 22220 ti = "16/33092/22220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33092/22220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33092 ÷ 216
    33092 ÷ 65536     		x = 0.50494384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22220 ÷ 216
    22220 ÷ 65536     		y = 0.33905029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50494384765625 × 2 - 1) × π
    0.0098876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.03106311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33905029296875 × 2 - 1) × π
    0.3218994140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.0112768343847
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03106311} λ = 0.03106311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0112768343847))-π/2
    2×atan(2.7491089318374)-π/2
    2×1.22192122706612-π/2
    2.44384245413223-1.57079632675     		φ = 0.87304613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03106311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.779785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87304613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.021859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33092 KachelY 22220 0.03106311 0.87304613 1.779785 50.021859
    Oben rechts KachelX + 1 33093 KachelY 22220 0.03115898 0.87304613 1.785278 50.021859
    Unten links KachelX 33092 KachelY + 1 22221 0.03106311 0.87298453 1.779785 50.018329
    Unten rechts KachelX + 1 33093 KachelY + 1 22221 0.03115898 0.87298453 1.785278 50.018329
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87304613-0.87298453) × R
    6.1599999999995e-05 × 6371000     		dl = 392.453599999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87304613-0.87298453) × R
    6.1599999999995e-05 × 6371000     		dr = 392.453599999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03106311-0.03115898) × cos(0.87304613) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.64249531389487 × 6371000     		do = 392.428280009289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03106311-0.03115898) × cos(0.87298453) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.642542516116033 × 6371000     		du = 392.457110548692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87304613)-sin(0.87298453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64249531389487-0.642542516116033)×R²
    abs(0.03115898-0.03106311)×4.72022211628342e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72022211628342e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72022211628342e-05×40589641000000     		ar = 154015.548604556m²