Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33087 / 22210
↖ ↑ ↗
← N 50.057139°
E  1.752319°		 ← 392.18 m → N 50.057139°
E  1.757813°		 →
↑
392.20 m
↓
↑
392.20 m
↓
N 50.053612°
E  1.752319°		 ← 392.21 m →
153 819 m²		 N 50.053612°
E  1.757813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504875183105469 y=0.338905334472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504875183105469 × 216)
    floor (0.504875183105469 × 65536)
    floor (33087.5)     		tx = 33087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338905334472656 × 216)
    floor (0.338905334472656 × 65536)
    floor (22210.5)     		ty = 22210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33087 / 22210 ti = "16/33087/22210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33087/22210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33087 ÷ 216
    33087 ÷ 65536     		x = 0.504867553710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22210 ÷ 216
    22210 ÷ 65536     		y = 0.338897705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504867553710938 × 2 - 1) × π
    0.009735107421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.03058374
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338897705078125 × 2 - 1) × π
    0.32220458984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.01223557237711
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03058374} λ = 0.03058374}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01223557237711))-π/2
    2×atan(2.75174587088043)-π/2
    2×1.22222910627251-π/2
    2.44445821254502-1.57079632675     		φ = 0.87366189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03058374} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.752319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87366189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.057139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33087 KachelY 22210 0.03058374 0.87366189 1.752319 50.057139
    Oben rechts KachelX + 1 33088 KachelY 22210 0.03067962 0.87366189 1.757813 50.057139
    Unten links KachelX 33087 KachelY + 1 22211 0.03058374 0.87360033 1.752319 50.053612
    Unten rechts KachelX + 1 33088 KachelY + 1 22211 0.03067962 0.87360033 1.757813 50.053612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87366189-0.87360033) × R
    6.1560000000016e-05 × 6371000     		dl = 392.198760000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87366189-0.87360033) × R
    6.1560000000016e-05 × 6371000     		dr = 392.198760000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03058374-0.03067962) × cos(0.87366189) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.642023341627955 × 6371000     		do = 392.18090842798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03058374-0.03067962) × cos(0.87360033) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.642070537545612 × 6371000     		du = 392.209738124131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87366189)-sin(0.87360033))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642023341627955-0.642070537545612)×R²
    abs(0.03067962-0.03058374)×4.71959176573389e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.71959176573389e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.71959176573389e-05×40589641000000     		ar = 153818.519515118m²