Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33059 / 22131
↖ ↑ ↗
← N 50.334943°
E  1.598511°		 ← 389.86 m → N 50.334943°
E  1.604004°		 →
↑
389.91 m
↓
↑
389.91 m
↓
N 50.331436°
E  1.598511°		 ← 389.89 m →
152 016 m²		 N 50.331436°
E  1.604004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33059 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504447937011719 y=0.337699890136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504447937011719 × 216)
    floor (0.504447937011719 × 65536)
    floor (33059.5)     		tx = 33059
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337699890136719 × 216)
    floor (0.337699890136719 × 65536)
    floor (22131.5)     		ty = 22131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33059 / 22131 ti = "16/33059/22131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33059/22131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33059 ÷ 216
    33059 ÷ 65536     		x = 0.504440307617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22131 ÷ 216
    22131 ÷ 65536     		y = 0.337692260742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504440307617188 × 2 - 1) × π
    0.008880615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.02789928
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337692260742188 × 2 - 1) × π
    0.324615478515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01980960251707
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02789928} λ = 0.02789928}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01980960251707))-π/2
    2×atan(2.77266680492421)-π/2
    2×1.22465340318238-π/2
    2.44930680636476-1.57079632675     		φ = 0.87851048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02789928} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.598511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87851048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.334943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33059 KachelY 22131 0.02789928 0.87851048 1.598511 50.334943
    Oben rechts KachelX + 1 33060 KachelY 22131 0.02799515 0.87851048 1.604004 50.334943
    Unten links KachelX 33059 KachelY + 1 22132 0.02789928 0.87844928 1.598511 50.331436
    Unten rechts KachelX + 1 33060 KachelY + 1 22132 0.02799515 0.87844928 1.604004 50.331436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87851048-0.87844928) × R
    6.11999999999835e-05 × 6371000     		dl = 389.905199999895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87851048-0.87844928) × R
    6.11999999999835e-05 × 6371000     		dr = 389.905199999895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02789928-0.02799515) × cos(0.87851048) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.638298467935081 × 6371000     		do = 389.86489782449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02789928-0.02799515) × cos(0.87844928) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.638345577824959 × 6371000     		du = 389.893671969074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87851048)-sin(0.87844928))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638298467935081-0.638345577824959)×R²
    abs(0.02799515-0.02789928)×4.71098898783273e-05×R²
    9.58700000000014e-05×4.71098898783273e-05×6371000²
    9.58700000000014e-05×4.71098898783273e-05×40589641000000     		ar = 152015.960601187m²