Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33052 / 22135
↖ ↑ ↗
← N 50.320916°
E  1.560059°		 ← 389.98 m → N 50.320916°
E  1.565552°		 →
↑
390.03 m
↓
↑
390.03 m
↓
N 50.317408°
E  1.560059°		 ← 390.01 m →
152 111 m²		 N 50.317408°
E  1.565552°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33052 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504341125488281 y=0.337760925292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504341125488281 × 216)
    floor (0.504341125488281 × 65536)
    floor (33052.5)     		tx = 33052
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337760925292969 × 216)
    floor (0.337760925292969 × 65536)
    floor (22135.5)     		ty = 22135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33052 / 22135 ti = "16/33052/22135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33052/22135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33052 ÷ 216
    33052 ÷ 65536     		x = 0.50433349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22135 ÷ 216
    22135 ÷ 65536     		y = 0.337753295898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50433349609375 × 2 - 1) × π
    0.0086669921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.02722816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337753295898438 × 2 - 1) × π
    0.324493408203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.01942610732011
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02722816} λ = 0.02722816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01942610732011))-π/2
    2×atan(2.77160370438175)-π/2
    2×1.2245309929177-π/2
    2.44906198583539-1.57079632675     		φ = 0.87826566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02722816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.560059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87826566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.320916°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33052 KachelY 22135 0.02722816 0.87826566 1.560059 50.320916
    Oben rechts KachelX + 1 33053 KachelY 22135 0.02732403 0.87826566 1.565552 50.320916
    Unten links KachelX 33052 KachelY + 1 22136 0.02722816 0.87820444 1.560059 50.317408
    Unten rechts KachelX + 1 33053 KachelY + 1 22136 0.02732403 0.87820444 1.565552 50.317408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87826566-0.87820444) × R
    6.1219999999973e-05 × 6371000     		dl = 390.032619999828m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87826566-0.87820444) × R
    6.1219999999973e-05 × 6371000     		dr = 390.032619999828m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02722816-0.02732403) × cos(0.87826566) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.638486908541232 × 6371000     		do = 389.979995042085m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02722816-0.02732403) × cos(0.87820444) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.638534024257602 × 6371000     		du = 390.008772745418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87826566)-sin(0.87820444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638486908541232-0.638534024257602)×R²
    abs(0.02732403-0.02722816)×4.71157163699498e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71157163699498e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71157163699498e-05×40589641000000     		ar = 152110.531382764m²