Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3304 / 3816
↖ ↑ ↗
← S 82.402423°
E110.390625°		 ← 1 292.13 m → S 82.402423°
E110.478516°		 →
↑
1 291.15 m
↓
↑
1 291.15 m
↓
S 82.414035°
E110.390625°		 ← 1 290.17 m →
1 667 062 m²		 S 82.414035°
E110.478516°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3816 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8067626953125 y=0.9317626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8067626953125 × 212)
    floor (0.8067626953125 × 4096)
    floor (3304.5)     		tx = 3304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9317626953125 × 212)
    floor (0.9317626953125 × 4096)
    floor (3816.5)     		ty = 3816
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3304 / 3816 ti = "12/3304/3816"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3304/3816.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3304 ÷ 212
    3304 ÷ 4096     		x = 0.806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3816 ÷ 212
    3816 ÷ 4096     		y = 0.931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.806640625 × 2 - 1) × π
    0.61328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.92667987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.931640625 × 2 - 1) × π
    -0.86328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.7120780329043
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92667987} λ = 1.92667987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.7120780329043))-π/2
    2×atan(0.0663986846021673)-π/2
    2×0.0663013627335668-π/2
    0.132602725467134-1.57079632675     		φ = -1.43819360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92667987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.390625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43819360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.402423°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3304 KachelY 3816 1.92667987 -1.43819360 110.390625 -82.402423
    Oben rechts KachelX + 1 3305 KachelY 3816 1.92821385 -1.43819360 110.478516 -82.402423
    Unten links KachelX 3304 KachelY + 1 3817 1.92667987 -1.43839626 110.390625 -82.414035
    Unten rechts KachelX + 1 3305 KachelY + 1 3817 1.92821385 -1.43839626 110.478516 -82.414035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43819360--1.43839626) × R
    0.000202660000000021 × 6371000     		dl = 1291.14686000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43819360--1.43839626) × R
    0.000202660000000021 × 6371000     		dr = 1291.14686000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92667987-1.92821385) × cos(-1.43819360) × R
    0.00153397999999982 × 0.132214465332803 × 6371000     		do = 1292.13019537921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92667987-1.92821385) × cos(-1.43839626) × R
    0.00153397999999982 × 0.132013581744203 × 6371000     		du = 1290.16696276368m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43819360)-sin(-1.43839626))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.132214465332803-0.132013581744203)×R²
    abs(1.92821385-1.92667987)×0.000200883588600431×R²
    0.00153397999999982×0.000200883588600431×6371000²
    0.00153397999999982×0.000200883588600431×40589641000000     		ar = 1667062.4393731m²