Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33032 / 22038
↖ ↑ ↗
← N 50.659908°
E  1.450195°		 ← 387.23 m → N 50.659908°
E  1.455689°		 →
↑
387.23 m
↓
↑
387.23 m
↓
N 50.656426°
E  1.450195°		 ← 387.26 m →
149 953 m²		 N 50.656426°
E  1.455689°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504035949707031 y=0.336280822753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504035949707031 × 216)
    floor (0.504035949707031 × 65536)
    floor (33032.5)     		tx = 33032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336280822753906 × 216)
    floor (0.336280822753906 × 65536)
    floor (22038.5)     		ty = 22038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33032 / 22038 ti = "16/33032/22038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33032/22038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33032 ÷ 216
    33032 ÷ 65536     		x = 0.5040283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22038 ÷ 216
    22038 ÷ 65536     		y = 0.336273193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5040283203125 × 2 - 1) × π
    0.008056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.02531068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336273193359375 × 2 - 1) × π
    0.32745361328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.02872586584641
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02531068} λ = 0.02531068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02872586584641))-π/2
    2×atan(2.79749917373741)-π/2
    2×1.22748926321663-π/2
    2.45497852643325-1.57079632675     		φ = 0.88418220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02531068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.450195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88418220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.659908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33032 KachelY 22038 0.02531068 0.88418220 1.450195 50.659908
    Oben rechts KachelX + 1 33033 KachelY 22038 0.02540656 0.88418220 1.455689 50.659908
    Unten links KachelX 33032 KachelY + 1 22039 0.02531068 0.88412142 1.450195 50.656426
    Unten rechts KachelX + 1 33033 KachelY + 1 22039 0.02540656 0.88412142 1.455689 50.656426
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88418220-0.88412142) × R
    6.07799999999825e-05 × 6371000     		dl = 387.229379999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88418220-0.88412142) × R
    6.07799999999825e-05 × 6371000     		dr = 387.229379999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02531068-0.02540656) × cos(0.88418220) × R
    9.5880000000003e-05 × 0.633922197323346 × 6371000     		do = 387.23231243983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02531068-0.02540656) × cos(0.88412142) × R
    9.5880000000003e-05 × 0.633969203211373 × 6371000     		du = 387.2610260561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88418220)-sin(0.88412142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633922197323346-0.633969203211373)×R²
    abs(0.02540656-0.02531068)×4.70058880278623e-05×R²
    9.5880000000003e-05×4.70058880278623e-05×6371000²
    9.5880000000003e-05×4.70058880278623e-05×40589641000000     		ar = 149953.287686151m²