Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33022 / 34044
↖ ↑ ↗
← S  6.991859°
E  1.395264°		 ← 606.25 m → S  6.991859°
E  1.400757°		 →
↑
606.26 m
↓
↑
606.26 m
↓
S  6.997311°
E  1.395264°		 ← 606.24 m →
367 543 m²		 S  6.997311°
E  1.400757°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503883361816406 y=0.519477844238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503883361816406 × 216)
    floor (0.503883361816406 × 65536)
    floor (33022.5)     		tx = 33022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.519477844238281 × 216)
    floor (0.519477844238281 × 65536)
    floor (34044.5)     		ty = 34044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33022 / 34044 ti = "16/33022/34044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33022/34044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33022 ÷ 216
    33022 ÷ 65536     		x = 0.503875732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34044 ÷ 216
    34044 ÷ 65536     		y = 0.51947021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503875732421875 × 2 - 1) × π
    0.00775146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.02435195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51947021484375 × 2 - 1) × π
    -0.0389404296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.122334967830383
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02435195} λ = 0.02435195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.122334967830383))-π/2
    2×atan(0.884851921926867)-π/2
    2×0.724382681622841-π/2
    1.44876536324568-1.57079632675     		φ = -0.12203096
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02435195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.395264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.12203096 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.991859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33022 KachelY 34044 0.02435195 -0.12203096 1.395264 -6.991859
    Oben rechts KachelX + 1 33023 KachelY 34044 0.02444782 -0.12203096 1.400757 -6.991859
    Unten links KachelX 33022 KachelY + 1 34045 0.02435195 -0.12212612 1.395264 -6.997311
    Unten rechts KachelX + 1 33023 KachelY + 1 34045 0.02444782 -0.12212612 1.400757 -6.997311
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.12203096--0.12212612) × R
    9.51600000000108e-05 × 6371000     		dl = 606.264360000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.12203096--0.12212612) × R
    9.51600000000108e-05 × 6371000     		dr = 606.264360000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02435195-0.02444782) × cos(-0.12203096) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.992563457749402 × 6371000     		do = 606.245620942233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02435195-0.02444782) × cos(-0.12212612) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.992551869589052 × 6371000     		du = 606.238543035614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.12203096)-sin(-0.12212612))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992563457749402-0.992551869589052)×R²
    abs(0.02444782-0.02435195)×1.15881603502954e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.15881603502954e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.15881603502954e-05×40589641000000     		ar = 367542.968119515m²