Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33020 / 34043
↖ ↑ ↗
← S  6.986407°
E  1.384277°		 ← 606.25 m → S  6.986407°
E  1.389770°		 →
↑
606.26 m
↓
↑
606.26 m
↓
S  6.991859°
E  1.384277°		 ← 606.25 m →
367 547 m²		 S  6.991859°
E  1.389770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34043 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503852844238281 y=0.519462585449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503852844238281 × 216)
    floor (0.503852844238281 × 65536)
    floor (33020.5)     		tx = 33020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.519462585449219 × 216)
    floor (0.519462585449219 × 65536)
    floor (34043.5)     		ty = 34043
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33020 / 34043 ti = "16/33020/34043"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33020/34043.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33020 ÷ 216
    33020 ÷ 65536     		x = 0.50384521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34043 ÷ 216
    34043 ÷ 65536     		y = 0.519454956054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50384521484375 × 2 - 1) × π
    0.0076904296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.02416020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.519454956054688 × 2 - 1) × π
    -0.038909912109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.122239094031143
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02416020} λ = 0.02416020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.122239094031143))-π/2
    2×atan(0.884936760109202)-π/2
    2×0.724430262315235-π/2
    1.44886052463047-1.57079632675     		φ = -0.12193580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02416020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.384277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.12193580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.986407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33020 KachelY 34043 0.02416020 -0.12193580 1.384277 -6.986407
    Oben rechts KachelX + 1 33021 KachelY 34043 0.02425607 -0.12193580 1.389770 -6.986407
    Unten links KachelX 33020 KachelY + 1 34044 0.02416020 -0.12203096 1.384277 -6.991859
    Unten rechts KachelX + 1 33021 KachelY + 1 34044 0.02425607 -0.12203096 1.389770 -6.991859
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.12193580--0.12203096) × R
    9.51599999999969e-05 × 6371000     		dl = 606.26435999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.12193580--0.12203096) × R
    9.51599999999969e-05 × 6371000     		dr = 606.26435999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02416020-0.02425607) × cos(-0.12193580) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.992575036921668 × 6371000     		do = 606.252693359062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02416020-0.02425607) × cos(-0.12203096) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.992563457749402 × 6371000     		du = 606.245620942255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.12193580)-sin(-0.12203096))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992575036921668-0.992563457749402)×R²
    abs(0.02425607-0.02416020)×1.15791722657965e-05×R²
    9.58700000000014e-05×1.15791722657965e-05×6371000²
    9.58700000000014e-05×1.15791722657965e-05×40589641000000     		ar = 367547.257537841m²