Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33020 / 22236
↖ ↑ ↗
← N 49.965356°
E  1.384277°		 ← 392.89 m → N 49.965356°
E  1.389770°		 →
↑
392.90 m
↓
↑
392.90 m
↓
N 49.961822°
E  1.384277°		 ← 392.92 m →
154 372 m²		 N 49.961822°
E  1.389770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503852844238281 y=0.339302062988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503852844238281 × 216)
    floor (0.503852844238281 × 65536)
    floor (33020.5)     		tx = 33020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339302062988281 × 216)
    floor (0.339302062988281 × 65536)
    floor (22236.5)     		ty = 22236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33020 / 22236 ti = "16/33020/22236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33020/22236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33020 ÷ 216
    33020 ÷ 65536     		x = 0.50384521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22236 ÷ 216
    22236 ÷ 65536     		y = 0.33929443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50384521484375 × 2 - 1) × π
    0.0076904296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.02416020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33929443359375 × 2 - 1) × π
    0.3214111328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.00974285359686
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02416020} λ = 0.02416020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00974285359686))-π/2
    2×atan(2.74489508435911)-π/2
    2×1.22142814966756-π/2
    2.44285629933512-1.57079632675     		φ = 0.87205997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02416020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.384277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87205997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.965356°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33020 KachelY 22236 0.02416020 0.87205997 1.384277 49.965356
    Oben rechts KachelX + 1 33021 KachelY 22236 0.02425607 0.87205997 1.389770 49.965356
    Unten links KachelX 33020 KachelY + 1 22237 0.02416020 0.87199830 1.384277 49.961822
    Unten rechts KachelX + 1 33021 KachelY + 1 22237 0.02425607 0.87199830 1.389770 49.961822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87205997-0.87199830) × R
    6.16700000000137e-05 × 6371000     		dl = 392.899570000087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87205997-0.87199830) × R
    6.16700000000137e-05 × 6371000     		dr = 392.899570000087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02416020-0.02425607) × cos(0.87205997) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.643250685520518 × 6371000     		do = 392.889651760054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02416020-0.02425607) × cos(0.87199830) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.643297902280464 × 6371000     		du = 392.918491179568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87205997)-sin(0.87199830))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643250685520518-0.643297902280464)×R²
    abs(0.02425607-0.02416020)×4.72167599465667e-05×R²
    9.58700000000014e-05×4.72167599465667e-05×6371000²
    9.58700000000014e-05×4.72167599465667e-05×40589641000000     		ar = 154371.840780687m²