Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33019 / 34045
↖ ↑ ↗
← S  6.997311°
E  1.378784°		 ← 606.30 m → S  6.997311°
E  1.384277°		 →
↑
606.26 m
↓
↑
606.26 m
↓
S  7.002764°
E  1.378784°		 ← 606.29 m →
367 577 m²		 S  7.002764°
E  1.384277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34045 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503837585449219 y=0.519493103027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503837585449219 × 216)
    floor (0.503837585449219 × 65536)
    floor (33019.5)     		tx = 33019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.519493103027344 × 216)
    floor (0.519493103027344 × 65536)
    floor (34045.5)     		ty = 34045
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33019 / 34045 ti = "16/33019/34045"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33019/34045.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33019 ÷ 216
    33019 ÷ 65536     		x = 0.503829956054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34045 ÷ 216
    34045 ÷ 65536     		y = 0.519485473632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503829956054688 × 2 - 1) × π
    0.007659912109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.02406432
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.519485473632812 × 2 - 1) × π
    -0.038970947265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.122430841629623
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02406432} λ = 0.02406432}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.122430841629623))-π/2
    2×atan(0.884767091877902)-π/2
    2×0.724335101485736-π/2
    1.44867020297147-1.57079632675     		φ = -0.12212612
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02406432} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.378784°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.12212612 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.997311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33019 KachelY 34045 0.02406432 -0.12212612 1.378784 -6.997311
    Oben rechts KachelX + 1 33020 KachelY 34045 0.02416020 -0.12212612 1.384277 -6.997311
    Unten links KachelX 33019 KachelY + 1 34046 0.02406432 -0.12222128 1.378784 -7.002764
    Unten rechts KachelX + 1 33020 KachelY + 1 34046 0.02416020 -0.12222128 1.384277 -7.002764
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.12212612--0.12222128) × R
    9.51599999999969e-05 × 6371000     		dl = 606.26435999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.12212612--0.12222128) × R
    9.51599999999969e-05 × 6371000     		dr = 606.26435999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02406432-0.02416020) × cos(-0.12212612) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.992551869589052 × 6371000     		do = 606.301778515237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02406432-0.02416020) × cos(-0.12222128) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.992540272440722 × 6371000     		du = 606.294694380015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.12212612)-sin(-0.12222128))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992551869589052-0.992540272440722)×R²
    abs(0.02416020-0.02406432)×1.15971483299893e-05×R²
    9.58799999999996e-05×1.15971483299893e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×1.15971483299893e-05×40589641000000     		ar = 367577.012566366m²