Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33013 / 22281
↖ ↑ ↗
← N 49.806087°
E  1.345825°		 ← 394.19 m → N 49.806087°
E  1.351318°		 →
↑
394.24 m
↓
↑
394.24 m
↓
N 49.802541°
E  1.345825°		 ← 394.22 m →
155 409 m²		 N 49.802541°
E  1.351318°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503746032714844 y=0.339988708496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503746032714844 × 216)
    floor (0.503746032714844 × 65536)
    floor (33013.5)     		tx = 33013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339988708496094 × 216)
    floor (0.339988708496094 × 65536)
    floor (22281.5)     		ty = 22281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33013 / 22281 ti = "16/33013/22281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33013/22281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33013 ÷ 216
    33013 ÷ 65536     		x = 0.503738403320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22281 ÷ 216
    22281 ÷ 65536     		y = 0.339981079101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503738403320312 × 2 - 1) × π
    0.007476806640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.02348908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339981079101562 × 2 - 1) × π
    0.320037841796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.00542853263106
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02348908} λ = 0.02348908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00542853263106))-π/2
    2×atan(2.73307823511721)-π/2
    2×1.22003826216504-π/2
    2.44007652433008-1.57079632675     		φ = 0.86928020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02348908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.345825°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86928020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.806087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33013 KachelY 22281 0.02348908 0.86928020 1.345825 49.806087
    Oben rechts KachelX + 1 33014 KachelY 22281 0.02358495 0.86928020 1.351318 49.806087
    Unten links KachelX 33013 KachelY + 1 22282 0.02348908 0.86921832 1.345825 49.802541
    Unten rechts KachelX + 1 33014 KachelY + 1 22282 0.02358495 0.86921832 1.351318 49.802541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86928020-0.86921832) × R
    6.18799999999586e-05 × 6371000     		dl = 394.237479999736m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86928020-0.86921832) × R
    6.18799999999586e-05 × 6371000     		dr = 394.237479999736m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02348908-0.02358495) × cos(0.86928020) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.645376544115173 × 6371000     		do = 394.188100190419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02348908-0.02358495) × cos(0.86921832) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.645423810820535 × 6371000     		du = 394.216970115982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86928020)-sin(0.86921832))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645376544115173-0.645423810820535)×R²
    abs(0.02358495-0.02348908)×4.72667053624809e-05×R²
    9.58700000000014e-05×4.72667053624809e-05×6371000²
    9.58700000000014e-05×4.72667053624809e-05×40589641000000     		ar = 155409.414118012m²