Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33012 / 22284
↖ ↑ ↗
← N 49.795450°
E  1.340332°		 ← 394.27 m → N 49.795450°
E  1.345825°		 →
↑
394.30 m
↓
↑
394.30 m
↓
N 49.791904°
E  1.340332°		 ← 394.30 m →
155 469 m²		 N 49.791904°
E  1.345825°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503730773925781 y=0.340034484863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503730773925781 × 216)
    floor (0.503730773925781 × 65536)
    floor (33012.5)     		tx = 33012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340034484863281 × 216)
    floor (0.340034484863281 × 65536)
    floor (22284.5)     		ty = 22284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33012 / 22284 ti = "16/33012/22284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33012/22284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33012 ÷ 216
    33012 ÷ 65536     		x = 0.50372314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22284 ÷ 216
    22284 ÷ 65536     		y = 0.34002685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50372314453125 × 2 - 1) × π
    0.0074462890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.02339321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34002685546875 × 2 - 1) × π
    0.3199462890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.00514091123334
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02339321} λ = 0.02339321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00514091123334))-π/2
    2×atan(2.73229225637272)-π/2
    2×1.21994543991714-π/2
    2.43989087983428-1.57079632675     		φ = 0.86909455
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02339321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.340332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86909455 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.795450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33012 KachelY 22284 0.02339321 0.86909455 1.340332 49.795450
    Oben rechts KachelX + 1 33013 KachelY 22284 0.02348908 0.86909455 1.345825 49.795450
    Unten links KachelX 33012 KachelY + 1 22285 0.02339321 0.86903266 1.340332 49.791904
    Unten rechts KachelX + 1 33013 KachelY + 1 22285 0.02348908 0.86903266 1.345825 49.791904
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86909455-0.86903266) × R
    6.18900000000089e-05 × 6371000     		dl = 394.301190000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86909455-0.86903266) × R
    6.18900000000089e-05 × 6371000     		dr = 394.301190000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02339321-0.02348908) × cos(0.86909455) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.645518344454283 × 6371000     		do = 394.274710103315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02339321-0.02348908) × cos(0.86903266) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.645565611381508 × 6371000     		du = 394.303580164389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86909455)-sin(0.86903266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645518344454283-0.645565611381508)×R²
    abs(0.02348908-0.02339321)×4.72669272247872e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72669272247872e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72669272247872e-05×40589641000000     		ar = 155468.679180167m²