Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33011 / 22282
↖ ↑ ↗
← N 49.802541°
E  1.334839°		 ← 394.26 m → N 49.802541°
E  1.340332°		 →
↑
394.24 m
↓
↑
394.24 m
↓
N 49.798996°
E  1.334839°		 ← 394.29 m →
155 437 m²		 N 49.798996°
E  1.340332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33011 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503715515136719 y=0.340003967285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503715515136719 × 216)
    floor (0.503715515136719 × 65536)
    floor (33011.5)     		tx = 33011
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340003967285156 × 216)
    floor (0.340003967285156 × 65536)
    floor (22282.5)     		ty = 22282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33011 / 22282 ti = "16/33011/22282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33011/22282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33011 ÷ 216
    33011 ÷ 65536     		x = 0.503707885742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22282 ÷ 216
    22282 ÷ 65536     		y = 0.339996337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503707885742188 × 2 - 1) × π
    0.007415771484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.02329733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339996337890625 × 2 - 1) × π
    0.32000732421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.00533265883182
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02329733} λ = 0.02329733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00533265883182))-π/2
    2×atan(2.73281621708372)-π/2
    2×1.22000732368149-π/2
    2.44001464736297-1.57079632675     		φ = 0.86921832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02329733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.334839°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86921832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.802541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33011 KachelY 22282 0.02329733 0.86921832 1.334839 49.802541
    Oben rechts KachelX + 1 33012 KachelY 22282 0.02339321 0.86921832 1.340332 49.802541
    Unten links KachelX 33011 KachelY + 1 22283 0.02329733 0.86915644 1.334839 49.798996
    Unten rechts KachelX + 1 33012 KachelY + 1 22283 0.02339321 0.86915644 1.340332 49.798996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86921832-0.86915644) × R
    6.18799999999586e-05 × 6371000     		dl = 394.237479999736m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86921832-0.86915644) × R
    6.18799999999586e-05 × 6371000     		dr = 394.237479999736m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02329733-0.02339321) × cos(0.86921832) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.645423810820535 × 6371000     		do = 394.258090066962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02329733-0.02339321) × cos(0.86915644) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.645471075054483 × 6371000     		du = 394.28696149422m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86921832)-sin(0.86915644))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645423810820535-0.645471075054483)×R²
    abs(0.02339321-0.02329733)×4.72642339479634e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.72642339479634e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.72642339479634e-05×40589641000000     		ar = 155437.007046303m²