Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33001 / 22283
↖ ↑ ↗
← N 49.798996°
E  1.279908°		 ← 394.25 m → N 49.798996°
E  1.285400°		 →
↑
394.30 m
↓
↑
394.30 m
↓
N 49.795450°
E  1.279908°		 ← 394.27 m →
155 457 m²		 N 49.795450°
E  1.285400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503562927246094 y=0.340019226074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503562927246094 × 216)
    floor (0.503562927246094 × 65536)
    floor (33001.5)     		tx = 33001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340019226074219 × 216)
    floor (0.340019226074219 × 65536)
    floor (22283.5)     		ty = 22283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33001 / 22283 ti = "16/33001/22283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33001/22283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33001 ÷ 216
    33001 ÷ 65536     		x = 0.503555297851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22283 ÷ 216
    22283 ÷ 65536     		y = 0.340011596679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503555297851562 × 2 - 1) × π
    0.007110595703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02233860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340011596679688 × 2 - 1) × π
    0.319976806640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.00523678503258
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02233860} λ = 0.02233860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00523678503258))-π/2
    2×atan(2.7325542241697)-π/2
    2×1.2199763829322-π/2
    2.43995276586441-1.57079632675     		φ = 0.86915644
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02233860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.279908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86915644 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.798996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33001 KachelY 22283 0.02233860 0.86915644 1.279908 49.798996
    Oben rechts KachelX + 1 33002 KachelY 22283 0.02243447 0.86915644 1.285400 49.798996
    Unten links KachelX 33001 KachelY + 1 22284 0.02233860 0.86909455 1.279908 49.795450
    Unten rechts KachelX + 1 33002 KachelY + 1 22284 0.02243447 0.86909455 1.285400 49.795450
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86915644-0.86909455) × R
    6.18900000000089e-05 × 6371000     		dl = 394.301190000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86915644-0.86909455) × R
    6.18900000000089e-05 × 6371000     		dr = 394.301190000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02233860-0.02243447) × cos(0.86915644) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.645471075054483 × 6371000     		do = 394.245838532036m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02233860-0.02243447) × cos(0.86909455) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.645518344454283 × 6371000     		du = 394.274710103329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86915644)-sin(0.86909455))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645471075054483-0.645518344454283)×R²
    abs(0.02243447-0.02233860)×4.72693998001539e-05×R²
    9.58700000000014e-05×4.72693998001539e-05×6371000²
    9.58700000000014e-05×4.72693998001539e-05×40589641000000     		ar = 155457.295382844m²