Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32993 / 22253
↖ ↑ ↗
← N 49.905249°
E  1.235962°		 ← 393.42 m → N 49.905249°
E  1.241455°		 →
↑
393.41 m
↓
↑
393.41 m
↓
N 49.901711°
E  1.235962°		 ← 393.45 m →
154 781 m²		 N 49.901711°
E  1.241455°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22253 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503440856933594 y=0.339561462402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503440856933594 × 216)
    floor (0.503440856933594 × 65536)
    floor (32993.5)     		tx = 32993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339561462402344 × 216)
    floor (0.339561462402344 × 65536)
    floor (22253.5)     		ty = 22253
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32993 / 22253 ti = "16/32993/22253"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32993/22253.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32993 ÷ 216
    32993 ÷ 65536     		x = 0.503433227539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22253 ÷ 216
    22253 ÷ 65536     		y = 0.339553833007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503433227539062 × 2 - 1) × π
    0.006866455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02157160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339553833007812 × 2 - 1) × π
    0.320892333984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.00811299900978
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02157160} λ = 0.02157160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00811299900978))-π/2
    2×atan(2.7404249483402)-π/2
    2×1.22090362001091-π/2
    2.44180724002182-1.57079632675     		φ = 0.87101091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02157160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.235962°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87101091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.905249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32993 KachelY 22253 0.02157160 0.87101091 1.235962 49.905249
    Oben rechts KachelX + 1 32994 KachelY 22253 0.02166748 0.87101091 1.241455 49.905249
    Unten links KachelX 32993 KachelY + 1 22254 0.02157160 0.87094916 1.235962 49.901711
    Unten rechts KachelX + 1 32994 KachelY + 1 22254 0.02166748 0.87094916 1.241455 49.901711
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87101091-0.87094916) × R
    6.17499999999715e-05 × 6371000     		dl = 393.409249999819m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87101091-0.87094916) × R
    6.17499999999715e-05 × 6371000     		dr = 393.409249999819m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02157160-0.02166748) × cos(0.87101091) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.644053550119197 × 6371000     		do = 393.421064289564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02157160-0.02166748) × cos(0.87094916) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.644100786431451 × 6371000     		du = 393.449918660814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87101091)-sin(0.87094916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644053550119197-0.644100786431451)×R²
    abs(0.02166748-0.02157160)×4.72363122540065e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.72363122540065e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.72363122540065e-05×40589641000000     		ar = 154781.161673995m²