Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32974 / 22286
↖ ↑ ↗
← N 49.788358°
E  1.131592°		 ← 394.37 m → N 49.788358°
E  1.137085°		 →
↑
394.36 m
↓
↑
394.36 m
↓
N 49.784811°
E  1.131592°		 ← 394.40 m →
155 533 m²		 N 49.784811°
E  1.137085°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32974 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503150939941406 y=0.340065002441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503150939941406 × 216)
    floor (0.503150939941406 × 65536)
    floor (32974.5)     		tx = 32974
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340065002441406 × 216)
    floor (0.340065002441406 × 65536)
    floor (22286.5)     		ty = 22286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32974 / 22286 ti = "16/32974/22286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32974/22286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32974 ÷ 216
    32974 ÷ 65536     		x = 0.503143310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22286 ÷ 216
    22286 ÷ 65536     		y = 0.340057373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503143310546875 × 2 - 1) × π
    0.00628662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.01975000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340057373046875 × 2 - 1) × π
    0.31988525390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.00494916363486
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01975000} λ = 0.01975000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00494916363486))-π/2
    2×atan(2.73176839612029)-π/2
    2×1.21988354708948-π/2
    2.43976709417896-1.57079632675     		φ = 0.86897077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01975000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.131592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86897077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.788358°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32974 KachelY 22286 0.01975000 0.86897077 1.131592 49.788358
    Oben rechts KachelX + 1 32975 KachelY 22286 0.01984588 0.86897077 1.137085 49.788358
    Unten links KachelX 32974 KachelY + 1 22287 0.01975000 0.86890887 1.131592 49.784811
    Unten rechts KachelX + 1 32975 KachelY + 1 22287 0.01984588 0.86890887 1.137085 49.784811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86897077-0.86890887) × R
    6.18999999999481e-05 × 6371000     		dl = 394.364899999669m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86897077-0.86890887) × R
    6.18999999999481e-05 × 6371000     		dr = 394.364899999669m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01975000-0.01984588) × cos(0.86897077) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.645612875835976 × 6371000     		do = 394.373580711461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01975000-0.01984588) × cos(0.86890887) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.645660145453756 × 6371000     		du = 394.40245542744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86897077)-sin(0.86890887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645612875835976-0.645660145453756)×R²
    abs(0.01984588-0.01975000)×4.72696177795662e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.72696177795662e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.72696177795662e-05×40589641000000     		ar = 155532.791356362m²