Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3297 / 3745
↖ ↑ ↗
← S 81.531226°
E109.775390°		 ← 1 439.27 m → S 81.531226°
E109.863281°		 →
↑
1 438.13 m
↓
↑
1 438.13 m
↓
S 81.544159°
E109.775390°		 ← 1 437.09 m →
2 068 285 m²		 S 81.544159°
E109.863281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8050537109375 y=0.9144287109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8050537109375 × 212)
    floor (0.8050537109375 × 4096)
    floor (3297.5)     		tx = 3297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9144287109375 × 212)
    floor (0.9144287109375 × 4096)
    floor (3745.5)     		ty = 3745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3297 / 3745 ti = "12/3297/3745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3297/3745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3297 ÷ 212
    3297 ÷ 4096     		x = 0.804931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3745 ÷ 212
    3745 ÷ 4096     		y = 0.914306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804931640625 × 2 - 1) × π
    0.60986328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.91594200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.914306640625 × 2 - 1) × π
    -0.82861328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.60316539696753
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91594200} λ = 1.91594200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60316539696753))-π/2
    2×atan(0.0740388445636771)-π/2
    2×0.0739040003049748-π/2
    0.14780800060995-1.57079632675     		φ = -1.42298833
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91594200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.775390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42298833 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.531226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3297 KachelY 3745 1.91594200 -1.42298833 109.775390 -81.531226
    Oben rechts KachelX + 1 3298 KachelY 3745 1.91747598 -1.42298833 109.863281 -81.531226
    Unten links KachelX 3297 KachelY + 1 3746 1.91594200 -1.42321406 109.775390 -81.544159
    Unten rechts KachelX + 1 3298 KachelY + 1 3746 1.91747598 -1.42321406 109.863281 -81.544159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42298833--1.42321406) × R
    0.000225730000000146 × 6371000     		dl = 1438.12583000093m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42298833--1.42321406) × R
    0.000225730000000146 × 6371000     		dr = 1438.12583000093m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91594200-1.91747598) × cos(-1.42298833) × R
    0.00153398000000005 × 0.147270385821466 × 6371000     		do = 1439.27150426465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91594200-1.91747598) × cos(-1.42321406) × R
    0.00153398000000005 × 0.147047113370081 × 6371000     		du = 1437.08946559358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42298833)-sin(-1.42321406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147270385821466-0.147047113370081)×R²
    abs(1.91747598-1.91594200)×0.000223272451384482×R²
    0.00153398000000005×0.000223272451384482×6371000²
    0.00153398000000005×0.000223272451384482×40589641000000     		ar = 2068284.51236519m²