Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 3297 / 3743
↖ ↑ ↗
← S 81.505299°
E109.775390°		 ← 1 443.65 m → S 81.505299°
E109.863281°		 →
↑
1 442.52 m
↓
↑
1 442.52 m
↓
S 81.518272°
E109.775390°		 ← 1 441.46 m →
2 080 912 m²		 S 81.518272°
E109.863281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8050537109375 y=0.9139404296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8050537109375 × 212)
    floor (0.8050537109375 × 4096)
    floor (3297.5)     		tx = 3297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9139404296875 × 212)
    floor (0.9139404296875 × 4096)
    floor (3743.5)     		ty = 3743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3297 / 3743 ti = "12/3297/3743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3297/3743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3297 ÷ 212
    3297 ÷ 4096     		x = 0.804931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3743 ÷ 212
    3743 ÷ 4096     		y = 0.913818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804931640625 × 2 - 1) × π
    0.60986328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.91594200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.913818359375 × 2 - 1) × π
    -0.82763671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.60009743539185
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91594200} λ = 1.91594200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60009743539185))-π/2
    2×atan(0.0742663416916892)-π/2
    2×0.0741302533554103-π/2
    0.148260506710821-1.57079632675     		φ = -1.42253582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91594200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.775390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42253582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.505299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3297 KachelY 3743 1.91594200 -1.42253582 109.775390 -81.505299
    Oben rechts KachelX + 1 3298 KachelY 3743 1.91747598 -1.42253582 109.863281 -81.505299
    Unten links KachelX 3297 KachelY + 1 3744 1.91594200 -1.42276224 109.775390 -81.518272
    Unten rechts KachelX + 1 3298 KachelY + 1 3744 1.91747598 -1.42276224 109.863281 -81.518272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42253582--1.42276224) × R
    0.000226419999999949 × 6371000     		dl = 1442.52181999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42253582--1.42276224) × R
    0.000226419999999949 × 6371000     		dr = 1442.52181999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91594200-1.91747598) × cos(-1.42253582) × R
    0.00153398000000005 × 0.147717946681884 × 6371000     		do = 1443.64551054725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91594200-1.91747598) × cos(-1.42276224) × R
    0.00153398000000005 × 0.147494006831501 × 6371000     		du = 1441.45694939473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42253582)-sin(-1.42276224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147717946681884-0.147494006831501)×R²
    abs(1.91747598-1.91594200)×0.000223939850382937×R²
    0.00153398000000005×0.000223939850382937×6371000²
    0.00153398000000005×0.000223939850382937×40589641000000     		ar = 2080911.63459175m²