Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32965 / 22293
↖ ↑ ↗
← N 49.763526°
E  1.082153°		 ← 394.53 m → N 49.763526°
E  1.087646°		 →
↑
394.56 m
↓
↑
394.56 m
↓
N 49.759977°
E  1.082153°		 ← 394.56 m →
155 672 m²		 N 49.759977°
E  1.087646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32965 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503013610839844 y=0.340171813964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503013610839844 × 216)
    floor (0.503013610839844 × 65536)
    floor (32965.5)     		tx = 32965
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340171813964844 × 216)
    floor (0.340171813964844 × 65536)
    floor (22293.5)     		ty = 22293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32965 / 22293 ti = "16/32965/22293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32965/22293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32965 ÷ 216
    32965 ÷ 65536     		x = 0.503005981445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22293 ÷ 216
    22293 ÷ 65536     		y = 0.340164184570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503005981445312 × 2 - 1) × π
    0.006011962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01888714
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340164184570312 × 2 - 1) × π
    0.319671630859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.00427804704018
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01888714} λ = 0.01888714}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00427804704018))-π/2
    2×atan(2.72993567607004)-π/2
    2×1.21966685081367-π/2
    2.43933370162735-1.57079632675     		φ = 0.86853737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01888714} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.082153°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86853737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.763526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32965 KachelY 22293 0.01888714 0.86853737 1.082153 49.763526
    Oben rechts KachelX + 1 32966 KachelY 22293 0.01898301 0.86853737 1.087646 49.763526
    Unten links KachelX 32965 KachelY + 1 22294 0.01888714 0.86847544 1.082153 49.759977
    Unten rechts KachelX + 1 32966 KachelY + 1 22294 0.01898301 0.86847544 1.087646 49.759977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86853737-0.86847544) × R
    6.19299999999878e-05 × 6371000     		dl = 394.556029999922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86853737-0.86847544) × R
    6.19299999999878e-05 × 6371000     		dr = 394.556029999922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01888714-0.01898301) × cos(0.86853737) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.645943787540321 × 6371000     		do = 394.534565537112m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01888714-0.01898301) × cos(0.86847544) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.645991062733224 × 6371000     		du = 394.563440646761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86853737)-sin(0.86847544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645943787540321-0.645991062733224)×R²
    abs(0.01898301-0.01888714)×4.72751929024851e-05×R²
    9.58700000000014e-05×4.72751929024851e-05×6371000²
    9.58700000000014e-05×4.72751929024851e-05×40589641000000     		ar = 155671.688349848m²