Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32962 / 24006
↖ ↑ ↗
← N 43.301196°
E  1.065674°		 ← 444.51 m → N 43.301196°
E  1.071167°		 →
↑
444.50 m
↓
↑
444.50 m
↓
N 43.297198°
E  1.065674°		 ← 444.54 m →
197 591 m²		 N 43.297198°
E  1.071167°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502967834472656 y=0.366310119628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502967834472656 × 216)
    floor (0.502967834472656 × 65536)
    floor (32962.5)     		tx = 32962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366310119628906 × 216)
    floor (0.366310119628906 × 65536)
    floor (24006.5)     		ty = 24006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32962 / 24006 ti = "16/32962/24006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32962/24006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32962 ÷ 216
    32962 ÷ 65536     		x = 0.502960205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24006 ÷ 216
    24006 ÷ 65536     		y = 0.366302490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502960205078125 × 2 - 1) × π
    0.00592041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01859952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366302490234375 × 2 - 1) × π
    0.26739501953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.840046228941864
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01859952} λ = 0.01859952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.840046228941864))-π/2
    2×atan(2.31647406245061)-π/2
    2×1.16327238554405-π/2
    2.3265447710881-1.57079632675     		φ = 0.75574844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01859952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.065674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75574844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.301196°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32962 KachelY 24006 0.01859952 0.75574844 1.065674 43.301196
    Oben rechts KachelX + 1 32963 KachelY 24006 0.01869539 0.75574844 1.071167 43.301196
    Unten links KachelX 32962 KachelY + 1 24007 0.01859952 0.75567867 1.065674 43.297198
    Unten rechts KachelX + 1 32963 KachelY + 1 24007 0.01869539 0.75567867 1.071167 43.297198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75574844-0.75567867) × R
    6.9769999999969e-05 × 6371000     		dl = 444.504669999803m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75574844-0.75567867) × R
    6.9769999999969e-05 × 6371000     		dr = 444.504669999803m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01859952-0.01869539) × cos(0.75574844) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.727758441804231 × 6371000     		do = 444.505955768271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01859952-0.01869539) × cos(0.75567867) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.727806290639262 × 6371000     		du = 444.535181251517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75574844)-sin(0.75567867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727758441804231-0.727806290639262)×R²
    abs(0.01869539-0.01859952)×4.78488350311723e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78488350311723e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78488350311723e-05×40589641000000     		ar = 197591.468693929m²