Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32962 / 23998
↖ ↑ ↗
← N 43.333169°
E  1.065674°		 ← 444.27 m → N 43.333169°
E  1.071167°		 →
↑
444.31 m
↓
↑
444.31 m
↓
N 43.329174°
E  1.065674°		 ← 444.30 m →
197 403 m²		 N 43.329174°
E  1.071167°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23998 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502967834472656 y=0.366188049316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502967834472656 × 216)
    floor (0.502967834472656 × 65536)
    floor (32962.5)     		tx = 32962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366188049316406 × 216)
    floor (0.366188049316406 × 65536)
    floor (23998.5)     		ty = 23998
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32962 / 23998 ti = "16/32962/23998"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32962/23998.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32962 ÷ 216
    32962 ÷ 65536     		x = 0.502960205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23998 ÷ 216
    23998 ÷ 65536     		y = 0.366180419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502960205078125 × 2 - 1) × π
    0.00592041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01859952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366180419921875 × 2 - 1) × π
    0.26763916015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.840813219335785
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01859952} λ = 0.01859952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.840813219335785))-π/2
    2×atan(2.31825145733954)-π/2
    2×1.16355140400326-π/2
    2.32710280800651-1.57079632675     		φ = 0.75630648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01859952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.065674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75630648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.333169°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32962 KachelY 23998 0.01859952 0.75630648 1.065674 43.333169
    Oben rechts KachelX + 1 32963 KachelY 23998 0.01869539 0.75630648 1.071167 43.333169
    Unten links KachelX 32962 KachelY + 1 23999 0.01859952 0.75623674 1.065674 43.329174
    Unten rechts KachelX + 1 32963 KachelY + 1 23999 0.01869539 0.75623674 1.071167 43.329174
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75630648-0.75623674) × R
    6.97400000000403e-05 × 6371000     		dl = 444.313540000257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75630648-0.75623674) × R
    6.97400000000403e-05 × 6371000     		dr = 444.313540000257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01859952-0.01869539) × cos(0.75630648) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.727375605957945 × 6371000     		do = 444.272124315443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01859952-0.01869539) × cos(0.75623674) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.727423462535667 × 6371000     		du = 444.301354527829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75630648)-sin(0.75623674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727375605957945-0.727423462535667)×R²
    abs(0.01869539-0.01859952)×4.78565777217721e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78565777217721e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78565777217721e-05×40589641000000     		ar = 197402.614047601m²