Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32962 / 23996
↖ ↑ ↗
← N 43.341160°
E  1.065674°		 ← 444.21 m → N 43.341160°
E  1.071167°		 →
↑
444.19 m
↓
↑
444.19 m
↓
N 43.337165°
E  1.065674°		 ← 444.24 m →
197 320 m²		 N 43.337165°
E  1.071167°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502967834472656 y=0.366157531738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502967834472656 × 216)
    floor (0.502967834472656 × 65536)
    floor (32962.5)     		tx = 32962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366157531738281 × 216)
    floor (0.366157531738281 × 65536)
    floor (23996.5)     		ty = 23996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32962 / 23996 ti = "16/32962/23996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32962/23996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32962 ÷ 216
    32962 ÷ 65536     		x = 0.502960205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23996 ÷ 216
    23996 ÷ 65536     		y = 0.36614990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502960205078125 × 2 - 1) × π
    0.00592041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01859952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36614990234375 × 2 - 1) × π
    0.2677001953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.841004966934265
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01859952} λ = 0.01859952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.841004966934265))-π/2
    2×atan(2.31869601910963)-π/2
    2×1.16362113567785-π/2
    2.32724227135571-1.57079632675     		φ = 0.75644594
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01859952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.065674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75644594 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.341160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32962 KachelY 23996 0.01859952 0.75644594 1.065674 43.341160
    Oben rechts KachelX + 1 32963 KachelY 23996 0.01869539 0.75644594 1.071167 43.341160
    Unten links KachelX 32962 KachelY + 1 23997 0.01859952 0.75637622 1.065674 43.337165
    Unten rechts KachelX + 1 32963 KachelY + 1 23997 0.01869539 0.75637622 1.071167 43.337165
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75644594-0.75637622) × R
    6.97199999999398e-05 × 6371000     		dl = 444.186119999617m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75644594-0.75637622) × R
    6.97199999999398e-05 × 6371000     		dr = 444.186119999617m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01859952-0.01869539) × cos(0.75644594) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.727279895916415 × 6371000     		do = 444.21366579261m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01859952-0.01869539) × cos(0.75637622) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.727327745842511 × 6371000     		du = 444.242891942264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75644594)-sin(0.75637622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727279895916415-0.727327745842511)×R²
    abs(0.01869539-0.01859952)×4.78499260951892e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78499260951892e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78499260951892e-05×40589641000000     		ar = 197320.035664177m²