Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3296 / 3807
↖ ↑ ↗
← S 82.297121°
E109.687500°		 ← 1 309.93 m → S 82.297121°
E109.775390°		 →
↑
1 308.92 m
↓
↑
1 308.92 m
↓
S 82.308893°
E109.687500°		 ← 1 307.94 m →
1 713 296 m²		 S 82.308893°
E109.775390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8048095703125 y=0.9295654296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8048095703125 × 212)
    floor (0.8048095703125 × 4096)
    floor (3296.5)     		tx = 3296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9295654296875 × 212)
    floor (0.9295654296875 × 4096)
    floor (3807.5)     		ty = 3807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3296 / 3807 ti = "12/3296/3807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3296/3807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3296 ÷ 212
    3296 ÷ 4096     		x = 0.8046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3807 ÷ 212
    3807 ÷ 4096     		y = 0.929443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8046875 × 2 - 1) × π
    0.609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.91440802
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.929443359375 × 2 - 1) × π
    -0.85888671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.69827220581372
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91440802} λ = 1.91440802}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.69827220581372))-π/2
    2×atan(0.0673217304051389)-π/2
    2×0.0672203005563321-π/2
    0.134440601112664-1.57079632675     		φ = -1.43635573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91440802} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.687500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43635573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.297121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3296 KachelY 3807 1.91440802 -1.43635573 109.687500 -82.297121
    Oben rechts KachelX + 1 3297 KachelY 3807 1.91594200 -1.43635573 109.775390 -82.297121
    Unten links KachelX 3296 KachelY + 1 3808 1.91440802 -1.43656118 109.687500 -82.308893
    Unten rechts KachelX + 1 3297 KachelY + 1 3808 1.91594200 -1.43656118 109.775390 -82.308893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43635573--1.43656118) × R
    0.00020544999999994 × 6371000     		dl = 1308.92194999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43635573--1.43656118) × R
    0.00020544999999994 × 6371000     		dr = 1308.92194999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91440802-1.91594200) × cos(-1.43635573) × R
    0.00153398000000005 × 0.134035976596838 × 6371000     		do = 1309.93180051813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91440802-1.91594200) × cos(-1.43656118) × R
    0.00153398000000005 × 0.133832377654437 × 6371000     		du = 1307.94203078635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43635573)-sin(-1.43656118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134035976596838-0.133832377654437)×R²
    abs(1.91594200-1.91440802)×0.000203598942400851×R²
    0.00153398000000005×0.000203598942400851×6371000²
    0.00153398000000005×0.000203598942400851×40589641000000     		ar = 1713296.26608893m²