Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32956 / 32867
↖ ↑ ↗
← S  0.543815°
E  1.032715°		 ← 610.82 m → S  0.543815°
E  1.038208°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
S  0.549308°
E  1.032715°		 ← 610.82 m →
373 084 m²		 S  0.549308°
E  1.038208°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32956 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32867 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502876281738281 y=0.501518249511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502876281738281 × 216)
    floor (0.502876281738281 × 65536)
    floor (32956.5)     		tx = 32956
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501518249511719 × 216)
    floor (0.501518249511719 × 65536)
    floor (32867.5)     		ty = 32867
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32956 / 32867 ti = "16/32956/32867"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32956/32867.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32956 ÷ 216
    32956 ÷ 65536     		x = 0.50286865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32867 ÷ 216
    32867 ÷ 65536     		y = 0.501510620117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50286865234375 × 2 - 1) × π
    0.0057373046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.01802427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501510620117188 × 2 - 1) × π
    -0.003021240234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.00949150612477112
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01802427} λ = 0.01802427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00949150612477112))-π/2
    2×atan(0.990553396044122)-π/2
    2×0.780652481589903-π/2
    1.56130496317981-1.57079632675     		φ = -0.00949136
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01802427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.032715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00949136 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.543815°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32956 KachelY 32867 0.01802427 -0.00949136 1.032715 -0.543815
    Oben rechts KachelX + 1 32957 KachelY 32867 0.01812015 -0.00949136 1.038208 -0.543815
    Unten links KachelX 32956 KachelY + 1 32868 0.01802427 -0.00958723 1.032715 -0.549308
    Unten rechts KachelX + 1 32957 KachelY + 1 32868 0.01812015 -0.00958723 1.038208 -0.549308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00949136--0.00958723) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dl = 610.787769999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00949136--0.00958723) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dr = 610.787769999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01802427-0.01812015) × cos(-0.00949136) × R
    9.5880000000003e-05 × 0.999954957380819 × 6371000     		do = 610.82396564943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01802427-0.01812015) × cos(-0.00958723) × R
    9.5880000000003e-05 × 0.999954042862478 × 6371000     		du = 610.823407014547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00949136)-sin(-0.00958723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999954957380819-0.999954042862478)×R²
    abs(0.01812015-0.01802427)×9.14518341277315e-07×R²
    9.5880000000003e-05×9.14518341277315e-07×6371000²
    9.5880000000003e-05×9.14518341277315e-07×40589641000000     		ar = 373083.637523645m²