Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32953 / 32874
↖ ↑ ↗
← S  0.582265°
E  1.016235°		 ← 610.82 m → S  0.582265°
E  1.021729°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
S  0.587758°
E  1.016235°		 ← 610.82 m →
373 081 m²		 S  0.587758°
E  1.021729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32953 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502830505371094 y=0.501625061035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502830505371094 × 216)
    floor (0.502830505371094 × 65536)
    floor (32953.5)     		tx = 32953
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501625061035156 × 216)
    floor (0.501625061035156 × 65536)
    floor (32874.5)     		ty = 32874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32953 / 32874 ti = "16/32953/32874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32953/32874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32953 ÷ 216
    32953 ÷ 65536     		x = 0.502822875976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32874 ÷ 216
    32874 ÷ 65536     		y = 0.501617431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502822875976562 × 2 - 1) × π
    0.005645751953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01773665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501617431640625 × 2 - 1) × π
    -0.00323486328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0101626227194519
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01773665} λ = 0.01773665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0101626227194519))-π/2
    2×atan(0.989888842243604)-π/2
    2×0.780316939500839-π/2
    1.56063387900168-1.57079632675     		φ = -0.01016245
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01773665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.016235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01016245 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.582265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32953 KachelY 32874 0.01773665 -0.01016245 1.016235 -0.582265
    Oben rechts KachelX + 1 32954 KachelY 32874 0.01783253 -0.01016245 1.021729 -0.582265
    Unten links KachelX 32953 KachelY + 1 32875 0.01773665 -0.01025832 1.016235 -0.587758
    Unten rechts KachelX + 1 32954 KachelY + 1 32875 0.01783253 -0.01025832 1.021729 -0.587758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01016245--0.01025832) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dl = 610.787769999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01016245--0.01025832) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dr = 610.787769999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01773665-0.01783253) × cos(-0.01016245) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.999948362749406 × 6371000     		do = 610.819937309049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01773665-0.01783253) × cos(-0.01025832) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.999947383896804 × 6371000     		du = 610.819339375488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01016245)-sin(-0.01025832))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999948362749406-0.999947383896804)×R²
    abs(0.01783253-0.01773665)×9.78852601418723e-07×R²
    9.58799999999996e-05×9.78852601418723e-07×6371000²
    9.58799999999996e-05×9.78852601418723e-07×40589641000000     		ar = 373081.165061029m²