Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32953 / 32862
↖ ↑ ↗
← S  0.516351°
E  1.016235°		 ← 610.83 m → S  0.516351°
E  1.021729°		 →
↑
610.72 m
↓
↑
610.72 m
↓
S  0.521843°
E  1.016235°		 ← 610.83 m →
373 046 m²		 S  0.521843°
E  1.021729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32953 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32862 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502830505371094 y=0.501441955566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502830505371094 × 216)
    floor (0.502830505371094 × 65536)
    floor (32953.5)     		tx = 32953
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501441955566406 × 216)
    floor (0.501441955566406 × 65536)
    floor (32862.5)     		ty = 32862
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32953 / 32862 ti = "16/32953/32862"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32953/32862.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32953 ÷ 216
    32953 ÷ 65536     		x = 0.502822875976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32862 ÷ 216
    32862 ÷ 65536     		y = 0.501434326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502822875976562 × 2 - 1) × π
    0.005645751953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01773665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501434326171875 × 2 - 1) × π
    -0.00286865234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.00901213712857056
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01773665} λ = 0.01773665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00901213712857056))-π/2
    2×atan(0.991028350461383)-π/2
    2×0.780892155828033-π/2
    1.56178431165607-1.57079632675     		φ = -0.00901202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01773665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.016235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00901202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.516351°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32953 KachelY 32862 0.01773665 -0.00901202 1.016235 -0.516351
    Oben rechts KachelX + 1 32954 KachelY 32862 0.01783253 -0.00901202 1.021729 -0.516351
    Unten links KachelX 32953 KachelY + 1 32863 0.01773665 -0.00910788 1.016235 -0.521843
    Unten rechts KachelX + 1 32954 KachelY + 1 32863 0.01783253 -0.00910788 1.021729 -0.521843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00901202--0.00910788) × R
    9.58599999999997e-05 × 6371000     		dl = 610.724059999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00901202--0.00910788) × R
    9.58599999999997e-05 × 6371000     		dr = 610.724059999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01773665-0.01783253) × cos(-0.00901202) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.999959392022597 × 6371000     		do = 610.826674556901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01773665-0.01783253) × cos(-0.00910788) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.999958523547672 × 6371000     		du = 610.826144047708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00901202)-sin(-0.00910788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999959392022597-0.999958523547672)×R²
    abs(0.01783253-0.01773665)×8.68474925419527e-07×R²
    9.58799999999996e-05×8.68474925419527e-07×6371000²
    9.58799999999996e-05×8.68474925419527e-07×40589641000000     		ar = 373046.384929988m²