Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32952 / 22200
↖ ↑ ↗
← N 50.092393°
E  1.010742°		 ← 391.85 m → N 50.092393°
E  1.016235°		 →
↑
391.88 m
↓
↑
391.88 m
↓
N 50.088869°
E  1.010742°		 ← 391.88 m →
153 565 m²		 N 50.088869°
E  1.016235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502815246582031 y=0.338752746582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502815246582031 × 216)
    floor (0.502815246582031 × 65536)
    floor (32952.5)     		tx = 32952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338752746582031 × 216)
    floor (0.338752746582031 × 65536)
    floor (22200.5)     		ty = 22200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32952 / 22200 ti = "16/32952/22200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32952/22200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32952 ÷ 216
    32952 ÷ 65536     		x = 0.5028076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22200 ÷ 216
    22200 ÷ 65536     		y = 0.3387451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5028076171875 × 2 - 1) × π
    0.005615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.01764078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3387451171875 × 2 - 1) × π
    0.322509765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01319431036951
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01764078} λ = 0.01764078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01319431036951))-π/2
    2×atan(2.75438533926941)-π/2
    2×1.22253675925543-π/2
    2.44507351851085-1.57079632675     		φ = 0.87427719
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01764078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.010742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87427719 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.092393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32952 KachelY 22200 0.01764078 0.87427719 1.010742 50.092393
    Oben rechts KachelX + 1 32953 KachelY 22200 0.01773665 0.87427719 1.016235 50.092393
    Unten links KachelX 32952 KachelY + 1 22201 0.01764078 0.87421568 1.010742 50.088869
    Unten rechts KachelX + 1 32953 KachelY + 1 22201 0.01773665 0.87421568 1.016235 50.088869
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87427719-0.87421568) × R
    6.15099999999869e-05 × 6371000     		dl = 391.880209999916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87427719-0.87421568) × R
    6.15099999999869e-05 × 6371000     		dr = 391.880209999916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01764078-0.01773665) × cos(0.87427719) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.641551478788094 × 6371000     		do = 391.851797069188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01764078-0.01773665) × cos(0.87421568) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.64159866066416 × 6371000     		du = 391.880615182054m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87427719)-sin(0.87421568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641551478788094-0.64159866066416)×R²
    abs(0.01773665-0.01764078)×4.71818760657827e-05×R²
    9.58700000000014e-05×4.71818760657827e-05×6371000²
    9.58700000000014e-05×4.71818760657827e-05×40589641000000     		ar = 153564.611196539m²