Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32946 / 22382
↖ ↑ ↗
← N 49.446700°
E  0.977783°		 ← 397.11 m → N 49.446700°
E  0.983276°		 →
↑
397.10 m
↓
↑
397.10 m
↓
N 49.443129°
E  0.977783°		 ← 397.14 m →
157 699 m²		 N 49.443129°
E  0.983276°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32946 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22382 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502723693847656 y=0.341529846191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502723693847656 × 216)
    floor (0.502723693847656 × 65536)
    floor (32946.5)     		tx = 32946
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341529846191406 × 216)
    floor (0.341529846191406 × 65536)
    floor (22382.5)     		ty = 22382
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32946 / 22382 ti = "16/32946/22382"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32946/22382.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32946 ÷ 216
    32946 ÷ 65536     		x = 0.502716064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22382 ÷ 216
    22382 ÷ 65536     		y = 0.341522216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502716064453125 × 2 - 1) × π
    0.00543212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01706554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341522216796875 × 2 - 1) × π
    0.31695556640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.995745278907806
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01706554} λ = 0.01706554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.995745278907806))-π/2
    2×atan(2.706740866626)-π/2
    2×1.21690202560256-π/2
    2.43380405120511-1.57079632675     		φ = 0.86300772
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01706554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.977783°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86300772 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.446700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32946 KachelY 22382 0.01706554 0.86300772 0.977783 49.446700
    Oben rechts KachelX + 1 32947 KachelY 22382 0.01716141 0.86300772 0.983276 49.446700
    Unten links KachelX 32946 KachelY + 1 22383 0.01706554 0.86294539 0.977783 49.443129
    Unten rechts KachelX + 1 32947 KachelY + 1 22383 0.01716141 0.86294539 0.983276 49.443129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86300772-0.86294539) × R
    6.23299999999993e-05 × 6371000     		dl = 397.104429999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86300772-0.86294539) × R
    6.23299999999993e-05 × 6371000     		dr = 397.104429999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01706554-0.01716141) × cos(0.86300772) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.65015514227119 × 6371000     		do = 397.106809501844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01706554-0.01716141) × cos(0.86294539) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.650202499434552 × 6371000     		du = 397.135734678048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86300772)-sin(0.86294539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65015514227119-0.650202499434552)×R²
    abs(0.01716141-0.01706554)×4.73571633626824e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73571633626824e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73571633626824e-05×40589641000000     		ar = 157698.61644546m²