Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32945 / 22321
↖ ↑ ↗
← N 49.664072°
E  0.972290°		 ← 395.38 m → N 49.664072°
E  0.977783°		 →
↑
395.32 m
↓
↑
395.32 m
↓
N 49.660517°
E  0.972290°		 ← 395.41 m →
156 309 m²		 N 49.660517°
E  0.977783°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32945 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502708435058594 y=0.340599060058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502708435058594 × 216)
    floor (0.502708435058594 × 65536)
    floor (32945.5)     		tx = 32945
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340599060058594 × 216)
    floor (0.340599060058594 × 65536)
    floor (22321.5)     		ty = 22321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32945 / 22321 ti = "16/32945/22321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32945/22321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32945 ÷ 216
    32945 ÷ 65536     		x = 0.502700805664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22321 ÷ 216
    22321 ÷ 65536     		y = 0.340591430664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502700805664062 × 2 - 1) × π
    0.005401611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01696966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340591430664062 × 2 - 1) × π
    0.318817138671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.00159358066145
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01696966} λ = 0.01696966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00159358066145))-π/2
    2×atan(2.72261708318486)-π/2
    2×1.21879895508617-π/2
    2.43759791017233-1.57079632675     		φ = 0.86680158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01696966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.972290°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86680158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.664072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32945 KachelY 22321 0.01696966 0.86680158 0.972290 49.664072
    Oben rechts KachelX + 1 32946 KachelY 22321 0.01706554 0.86680158 0.977783 49.664072
    Unten links KachelX 32945 KachelY + 1 22322 0.01696966 0.86673953 0.972290 49.660517
    Unten rechts KachelX + 1 32946 KachelY + 1 22322 0.01706554 0.86673953 0.977783 49.660517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86680158-0.86673953) × R
    6.20499999999247e-05 × 6371000     		dl = 395.32054999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86680158-0.86673953) × R
    6.20499999999247e-05 × 6371000     		dr = 395.32054999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01696966-0.01706554) × cos(0.86680158) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.647267889781017 × 6371000     		do = 395.38454842921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01696966-0.01706554) × cos(0.86673953) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.647315186929566 × 6371000     		du = 395.4134399624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86680158)-sin(0.86673953))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647267889781017-0.647315186929566)×R²
    abs(0.01706554-0.01696966)×4.7297148548564e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.7297148548564e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.7297148548564e-05×40589641000000     		ar = 156309.3479045m²