Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32943 / 22320
↖ ↑ ↗
← N 49.667628°
E  0.961303°		 ← 395.36 m → N 49.667628°
E  0.966797°		 →
↑
395.38 m
↓
↑
395.38 m
↓
N 49.664072°
E  0.961303°		 ← 395.38 m →
156 323 m²		 N 49.664072°
E  0.966797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502677917480469 y=0.340583801269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502677917480469 × 216)
    floor (0.502677917480469 × 65536)
    floor (32943.5)     		tx = 32943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340583801269531 × 216)
    floor (0.340583801269531 × 65536)
    floor (22320.5)     		ty = 22320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32943 / 22320 ti = "16/32943/22320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32943/22320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32943 ÷ 216
    32943 ÷ 65536     		x = 0.502670288085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22320 ÷ 216
    22320 ÷ 65536     		y = 0.340576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502670288085938 × 2 - 1) × π
    0.005340576171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.01677791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340576171875 × 2 - 1) × π
    0.31884765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.00168945446069
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01677791} λ = 0.01677791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00168945446069))-π/2
    2×atan(2.72287812334175)-π/2
    2×1.21882998196813-π/2
    2.43765996393626-1.57079632675     		φ = 0.86686364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01677791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.961303°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86686364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.667628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32943 KachelY 22320 0.01677791 0.86686364 0.961303 49.667628
    Oben rechts KachelX + 1 32944 KachelY 22320 0.01687379 0.86686364 0.966797 49.667628
    Unten links KachelX 32943 KachelY + 1 22321 0.01677791 0.86680158 0.961303 49.664072
    Unten rechts KachelX + 1 32944 KachelY + 1 22321 0.01687379 0.86680158 0.966797 49.664072
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86686364-0.86680158) × R
    6.20600000000859e-05 × 6371000     		dl = 395.384260000547m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86686364-0.86680158) × R
    6.20600000000859e-05 × 6371000     		dr = 395.384260000547m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01677791-0.01687379) × cos(0.86686364) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.647220582517329 × 6371000     		do = 395.355650717171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01677791-0.01687379) × cos(0.86680158) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.647267889781017 × 6371000     		du = 395.38454842921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86686364)-sin(0.86680158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647220582517329-0.647267889781017)×R²
    abs(0.01687379-0.01677791)×4.7307263688845e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.7307263688845e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.7307263688845e-05×40589641000000     		ar = 156323.114296537m²