Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32943 / 22316
↖ ↑ ↗
← N 49.681847°
E  0.961303°		 ← 395.24 m → N 49.681847°
E  0.966797°		 →
↑
395.26 m
↓
↑
395.26 m
↓
N 49.678292°
E  0.961303°		 ← 395.27 m →
156 227 m²		 N 49.678292°
E  0.966797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502677917480469 y=0.340522766113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502677917480469 × 216)
    floor (0.502677917480469 × 65536)
    floor (32943.5)     		tx = 32943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340522766113281 × 216)
    floor (0.340522766113281 × 65536)
    floor (22316.5)     		ty = 22316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32943 / 22316 ti = "16/32943/22316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32943/22316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32943 ÷ 216
    32943 ÷ 65536     		x = 0.502670288085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22316 ÷ 216
    22316 ÷ 65536     		y = 0.34051513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502670288085938 × 2 - 1) × π
    0.005340576171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.01677791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34051513671875 × 2 - 1) × π
    0.3189697265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.00207294965765
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01677791} λ = 0.01677791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00207294965765))-π/2
    2×atan(2.72392253427445)-π/2
    2×1.21895406682133-π/2
    2.43790813364265-1.57079632675     		φ = 0.86711181
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01677791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.961303°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86711181 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.681847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32943 KachelY 22316 0.01677791 0.86711181 0.961303 49.681847
    Oben rechts KachelX + 1 32944 KachelY 22316 0.01687379 0.86711181 0.966797 49.681847
    Unten links KachelX 32943 KachelY + 1 22317 0.01677791 0.86704977 0.961303 49.678292
    Unten rechts KachelX + 1 32944 KachelY + 1 22317 0.01687379 0.86704977 0.966797 49.678292
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86711181-0.86704977) × R
    6.20399999999854e-05 × 6371000     		dl = 395.256839999907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86711181-0.86704977) × R
    6.20399999999854e-05 × 6371000     		dr = 395.256839999907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01677791-0.01687379) × cos(0.86711181) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.647031381909497 × 6371000     		do = 395.24007724586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01677791-0.01687379) × cos(0.86704977) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.647078683891752 × 6371000     		du = 395.268971731727m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86711181)-sin(0.86704977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647031381909497-0.647078683891752)×R²
    abs(0.01687379-0.01677791)×4.7301982254444e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.7301982254444e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.7301982254444e-05×40589641000000     		ar = 156227.054395359m²