Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32937 / 22312
↖ ↑ ↗
← N 49.696062°
E  0.928345°		 ← 395.12 m → N 49.696062°
E  0.933838°		 →
↑
395.07 m
↓
↑
395.07 m
↓
N 49.692509°
E  0.928345°		 ← 395.15 m →
156 106 m²		 N 49.692509°
E  0.933838°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502586364746094 y=0.340461730957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502586364746094 × 216)
    floor (0.502586364746094 × 65536)
    floor (32937.5)     		tx = 32937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340461730957031 × 216)
    floor (0.340461730957031 × 65536)
    floor (22312.5)     		ty = 22312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32937 / 22312 ti = "16/32937/22312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32937/22312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32937 ÷ 216
    32937 ÷ 65536     		x = 0.502578735351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22312 ÷ 216
    22312 ÷ 65536     		y = 0.3404541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502578735351562 × 2 - 1) × π
    0.005157470703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01620267
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3404541015625 × 2 - 1) × π
    0.319091796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.00245644485461
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01620267} λ = 0.01620267}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00245644485461))-π/2
    2×atan(2.72496734581054)-π/2
    2×1.21907811539729-π/2
    2.43815623079457-1.57079632675     		φ = 0.86735990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01620267} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.928345°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86735990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.696062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32937 KachelY 22312 0.01620267 0.86735990 0.928345 49.696062
    Oben rechts KachelX + 1 32938 KachelY 22312 0.01629855 0.86735990 0.933838 49.696062
    Unten links KachelX 32937 KachelY + 1 22313 0.01620267 0.86729789 0.928345 49.692509
    Unten rechts KachelX + 1 32938 KachelY + 1 22313 0.01629855 0.86729789 0.933838 49.692509
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86735990-0.86729789) × R
    6.20099999999457e-05 × 6371000     		dl = 395.065709999654m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86735990-0.86729789) × R
    6.20099999999457e-05 × 6371000     		dr = 395.065709999654m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01620267-0.01629855) × cos(0.86735990) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.646842202461983 × 6371000     		do = 395.12451670036m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01620267-0.01629855) × cos(0.86729789) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.646889491524419 × 6371000     		du = 395.153403294137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86735990)-sin(0.86729789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646842202461983-0.646889491524419)×R²
    abs(0.01629855-0.01620267)×4.72890624361177e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.72890624361177e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.72890624361177e-05×40589641000000     		ar = 156105.853829692m²