Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32930 / 21882
↖ ↑ ↗
← N 51.200000°
E  0.889893°		 ← 382.72 m → N 51.200000°
E  0.895386°		 →
↑
382.71 m
↓
↑
382.71 m
↓
N 51.196558°
E  0.889893°		 ← 382.75 m →
146 475 m²		 N 51.196558°
E  0.895386°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502479553222656 y=0.333900451660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502479553222656 × 216)
    floor (0.502479553222656 × 65536)
    floor (32930.5)     		tx = 32930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333900451660156 × 216)
    floor (0.333900451660156 × 65536)
    floor (21882.5)     		ty = 21882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32930 / 21882 ti = "16/32930/21882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32930/21882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32930 ÷ 216
    32930 ÷ 65536     		x = 0.502471923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21882 ÷ 216
    21882 ÷ 65536     		y = 0.333892822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502471923828125 × 2 - 1) × π
    0.00494384765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01553156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333892822265625 × 2 - 1) × π
    0.33221435546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.04368217852786
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01553156} λ = 0.01553156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04368217852786))-π/2
    2×atan(2.83965389993815)-π/2
    2×1.23220245045108-π/2
    2.46440490090216-1.57079632675     		φ = 0.89360857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01553156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.889893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89360857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.200000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32930 KachelY 21882 0.01553156 0.89360857 0.889893 51.200000
    Oben rechts KachelX + 1 32931 KachelY 21882 0.01562743 0.89360857 0.895386 51.200000
    Unten links KachelX 32930 KachelY + 1 21883 0.01553156 0.89354850 0.889893 51.196558
    Unten rechts KachelX + 1 32931 KachelY + 1 21883 0.01562743 0.89354850 0.895386 51.196558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89360857-0.89354850) × R
    6.00700000000787e-05 × 6371000     		dl = 382.705970000501m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89360857-0.89354850) × R
    6.00700000000787e-05 × 6371000     		dr = 382.705970000501m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01553156-0.01562743) × cos(0.89360857) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.626603816836268 × 6371000     		do = 382.721947958918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01553156-0.01562743) × cos(0.89354850) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.626650630537009 × 6371000     		du = 382.750541194799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89360857)-sin(0.89354850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626603816836268-0.626650630537009)×R²
    abs(0.01562743-0.01553156)×4.68137007409997e-05×R²
    9.58700000000014e-05×4.68137007409997e-05×6371000²
    9.58700000000014e-05×4.68137007409997e-05×40589641000000     		ar = 146475.445779531m²