Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32919 / 24233
↖ ↑ ↗
← N 42.386951°
E  0.829468°		 ← 451.18 m → N 42.386951°
E  0.834961°		 →
↑
451.13 m
↓
↑
451.13 m
↓
N 42.382894°
E  0.829468°		 ← 451.21 m →
203 548 m²		 N 42.382894°
E  0.834961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502311706542969 y=0.369773864746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502311706542969 × 216)
    floor (0.502311706542969 × 65536)
    floor (32919.5)     		tx = 32919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369773864746094 × 216)
    floor (0.369773864746094 × 65536)
    floor (24233.5)     		ty = 24233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32919 / 24233 ti = "16/32919/24233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32919/24233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32919 ÷ 216
    32919 ÷ 65536     		x = 0.502304077148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24233 ÷ 216
    24233 ÷ 65536     		y = 0.369766235351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502304077148438 × 2 - 1) × π
    0.004608154296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.01447694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.369766235351562 × 2 - 1) × π
    0.260467529296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.818282876514358
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01447694} λ = 0.01447694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.818282876514358))-π/2
    2×atan(2.26660445432136)-π/2
    2×1.15529409464887-π/2
    2.31058818929773-1.57079632675     		φ = 0.73979186
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01447694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.829468°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73979186 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.386951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32919 KachelY 24233 0.01447694 0.73979186 0.829468 42.386951
    Oben rechts KachelX + 1 32920 KachelY 24233 0.01457282 0.73979186 0.834961 42.386951
    Unten links KachelX 32919 KachelY + 1 24234 0.01447694 0.73972105 0.829468 42.382894
    Unten rechts KachelX + 1 32920 KachelY + 1 24234 0.01457282 0.73972105 0.834961 42.382894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73979186-0.73972105) × R
    7.08099999999767e-05 × 6371000     		dl = 451.130509999852m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73979186-0.73972105) × R
    7.08099999999767e-05 × 6371000     		dr = 451.130509999852m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01447694-0.01457282) × cos(0.73979186) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.738608889018438 × 6371000     		do = 451.180332998066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01447694-0.01457282) × cos(0.73972105) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.738656622608833 × 6371000     		du = 451.209491132405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73979186)-sin(0.73972105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.738608889018438-0.738656622608833)×R²
    abs(0.01457282-0.01447694)×4.77335903950049e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.77335903950049e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.77335903950049e-05×40589641000000     		ar = 203547.790874227m²