Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32914 / 22386
↖ ↑ ↗
← N 49.432413°
E  0.802002°		 ← 397.26 m → N 49.432413°
E  0.807495°		 →
↑
397.30 m
↓
↑
397.30 m
↓
N 49.428840°
E  0.802002°		 ← 397.29 m →
157 837 m²		 N 49.428840°
E  0.807495°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22386 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502235412597656 y=0.341590881347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502235412597656 × 216)
    floor (0.502235412597656 × 65536)
    floor (32914.5)     		tx = 32914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341590881347656 × 216)
    floor (0.341590881347656 × 65536)
    floor (22386.5)     		ty = 22386
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32914 / 22386 ti = "16/32914/22386"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32914/22386.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32914 ÷ 216
    32914 ÷ 65536     		x = 0.502227783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22386 ÷ 216
    22386 ÷ 65536     		y = 0.341583251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502227783203125 × 2 - 1) × π
    0.00445556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01399757
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341583251953125 × 2 - 1) × π
    0.31683349609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.995361783710846
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01399757} λ = 0.01399757}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.995361783710846))-π/2
    2×atan(2.70570304351704)-π/2
    2×1.216777341753-π/2
    2.433554683506-1.57079632675     		φ = 0.86275836
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01399757} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.802002°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86275836 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.432413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32914 KachelY 22386 0.01399757 0.86275836 0.802002 49.432413
    Oben rechts KachelX + 1 32915 KachelY 22386 0.01409345 0.86275836 0.807495 49.432413
    Unten links KachelX 32914 KachelY + 1 22387 0.01399757 0.86269600 0.802002 49.428840
    Unten rechts KachelX + 1 32915 KachelY + 1 22387 0.01409345 0.86269600 0.807495 49.428840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86275836-0.86269600) × R
    6.2359999999928e-05 × 6371000     		dl = 397.295559999541m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86275836-0.86269600) × R
    6.2359999999928e-05 × 6371000     		dr = 397.295559999541m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01399757-0.01409345) × cos(0.86275836) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.650344586153146 × 6371000     		do = 397.263952961635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01399757-0.01409345) × cos(0.86269600) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.650391955997525 × 6371000     		du = 397.292888901181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86275836)-sin(0.86269600))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650344586153146-0.650391955997525)×R²
    abs(0.01409345-0.01399757)×4.73698443789194e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.73698443789194e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.73698443789194e-05×40589641000000     		ar = 157836.952770997m²