Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32911 / 32893
↖ ↑ ↗
← S  0.686629°
E  0.785522°		 ← 610.81 m → S  0.686629°
E  0.791016°		 →
↑
610.72 m
↓
↑
610.72 m
↓
S  0.692122°
E  0.785522°		 ← 610.81 m →
373 035 m²		 S  0.692122°
E  0.791016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32893 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502189636230469 y=0.501914978027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502189636230469 × 216)
    floor (0.502189636230469 × 65536)
    floor (32911.5)     		tx = 32911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501914978027344 × 216)
    floor (0.501914978027344 × 65536)
    floor (32893.5)     		ty = 32893
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32911 / 32893 ti = "16/32911/32893"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32911/32893.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32911 ÷ 216
    32911 ÷ 65536     		x = 0.502182006835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32893 ÷ 216
    32893 ÷ 65536     		y = 0.501907348632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502182006835938 × 2 - 1) × π
    0.004364013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.01370995
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501907348632812 × 2 - 1) × π
    -0.003814697265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.011984224905014
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01370995} λ = 0.01370995}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.011984224905014))-π/2
    2×atan(0.988087299909997)-π/2
    2×0.779406194372634-π/2
    1.55881238874527-1.57079632675     		φ = -0.01198394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01370995} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.785522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01198394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.686629°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32911 KachelY 32893 0.01370995 -0.01198394 0.785522 -0.686629
    Oben rechts KachelX + 1 32912 KachelY 32893 0.01380583 -0.01198394 0.791016 -0.686629
    Unten links KachelX 32911 KachelY + 1 32894 0.01370995 -0.01207980 0.785522 -0.692122
    Unten rechts KachelX + 1 32912 KachelY + 1 32894 0.01380583 -0.01207980 0.791016 -0.692122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01198394--0.01207980) × R
    9.58599999999997e-05 × 6371000     		dl = 610.724059999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01198394--0.01207980) × R
    9.58599999999997e-05 × 6371000     		dr = 610.724059999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01370995-0.01380583) × cos(-0.01198394) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.999928193450418 × 6371000     		do = 610.807616862911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01370995-0.01380583) × cos(-0.01207980) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.999927040103188 × 6371000     		du = 610.806912339049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01198394)-sin(-0.01207980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999928193450418-0.999927040103188)×R²
    abs(0.01380583-0.01370995)×1.15334722972094e-06×R²
    9.58799999999996e-05×1.15334722972094e-06×6371000²
    9.58799999999996e-05×1.15334722972094e-06×40589641000000     		ar = 373034.692800258m²