Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32892 / 24204
↖ ↑ ↗
← N 42.504503°
E  0.681152°		 ← 450.29 m → N 42.504503°
E  0.686645°		 →
↑
450.30 m
↓
↑
450.30 m
↓
N 42.500453°
E  0.681152°		 ← 450.32 m →
202 772 m²		 N 42.500453°
E  0.686645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32892 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24204 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501899719238281 y=0.369331359863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501899719238281 × 216)
    floor (0.501899719238281 × 65536)
    floor (32892.5)     		tx = 32892
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369331359863281 × 216)
    floor (0.369331359863281 × 65536)
    floor (24204.5)     		ty = 24204
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32892 / 24204 ti = "16/32892/24204"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32892/24204.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32892 ÷ 216
    32892 ÷ 65536     		x = 0.50189208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24204 ÷ 216
    24204 ÷ 65536     		y = 0.36932373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50189208984375 × 2 - 1) × π
    0.0037841796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.01188835
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36932373046875 × 2 - 1) × π
    0.2613525390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.821063216692322
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01188835} λ = 0.01188835}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.821063216692322))-π/2
    2×atan(2.27291515463479)-π/2
    2×1.1563199242428-π/2
    2.3126398484856-1.57079632675     		φ = 0.74184352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01188835} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.681152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74184352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.504503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32892 KachelY 24204 0.01188835 0.74184352 0.681152 42.504503
    Oben rechts KachelX + 1 32893 KachelY 24204 0.01198422 0.74184352 0.686645 42.504503
    Unten links KachelX 32892 KachelY + 1 24205 0.01188835 0.74177284 0.681152 42.500453
    Unten rechts KachelX + 1 32893 KachelY + 1 24205 0.01198422 0.74177284 0.686645 42.500453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74184352-0.74177284) × R
    7.06799999999896e-05 × 6371000     		dl = 450.302279999934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74184352-0.74177284) × R
    7.06799999999896e-05 × 6371000     		dr = 450.302279999934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01188835-0.01198422) × cos(0.74184352) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.73722424131614 × 6371000     		do = 450.287550343425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01188835-0.01198422) × cos(0.74177284) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.73727199428564 × 6371000     		du = 450.316717273177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74184352)-sin(0.74177284))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73722424131614-0.73727199428564)×R²
    abs(0.01198422-0.01188835)×4.77529695008805e-05×R²
    9.58699999999996e-05×4.77529695008805e-05×6371000²
    9.58699999999996e-05×4.77529695008805e-05×40589641000000     		ar = 202772.077627341m²