Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32888 / 24201
↖ ↑ ↗
← N 42.516651°
E  0.659180°		 ← 450.20 m → N 42.516651°
E  0.664673°		 →
↑
450.24 m
↓
↑
450.24 m
↓
N 42.512602°
E  0.659180°		 ← 450.23 m →
202 704 m²		 N 42.512602°
E  0.664673°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501838684082031 y=0.369285583496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501838684082031 × 216)
    floor (0.501838684082031 × 65536)
    floor (32888.5)     		tx = 32888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369285583496094 × 216)
    floor (0.369285583496094 × 65536)
    floor (24201.5)     		ty = 24201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32888 / 24201 ti = "16/32888/24201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32888/24201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32888 ÷ 216
    32888 ÷ 65536     		x = 0.5018310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24201 ÷ 216
    24201 ÷ 65536     		y = 0.369277954101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5018310546875 × 2 - 1) × π
    0.003662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.01150486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.369277954101562 × 2 - 1) × π
    0.261444091796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.821350838090042
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01150486} λ = 0.01150486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.821350838090042))-π/2
    2×atan(2.27356898769214)-π/2
    2×1.15642593467432-π/2
    2.31285186934864-1.57079632675     		φ = 0.74205554
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01150486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.659180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74205554 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.516651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32888 KachelY 24201 0.01150486 0.74205554 0.659180 42.516651
    Oben rechts KachelX + 1 32889 KachelY 24201 0.01160073 0.74205554 0.664673 42.516651
    Unten links KachelX 32888 KachelY + 1 24202 0.01150486 0.74198487 0.659180 42.512602
    Unten rechts KachelX + 1 32889 KachelY + 1 24202 0.01160073 0.74198487 0.664673 42.512602
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74205554-0.74198487) × R
    7.06699999999394e-05 × 6371000     		dl = 450.238569999614m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74205554-0.74198487) × R
    7.06699999999394e-05 × 6371000     		dr = 450.238569999614m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01150486-0.01160073) × cos(0.74205554) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.73708097382714 × 6371000     		do = 450.200044313305m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01150486-0.01160073) × cos(0.74198487) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.73712873108613 × 6371000     		du = 450.229213863025m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74205554)-sin(0.74198487))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73708097382714-0.73712873108613)×R²
    abs(0.01160073-0.01150486)×4.77572589898667e-05×R²
    9.58699999999996e-05×4.77572589898667e-05×6371000²
    9.58699999999996e-05×4.77572589898667e-05×40589641000000     		ar = 202703.990877979m²