Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32887 / 33912
↖ ↑ ↗
← S  6.271618°
E  0.653686°		 ← 607.20 m → S  6.271618°
E  0.659180°		 →
↑
607.16 m
↓
↑
607.16 m
↓
S  6.277078°
E  0.653686°		 ← 607.19 m →
368 661 m²		 S  6.277078°
E  0.659180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501823425292969 y=0.517463684082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501823425292969 × 216)
    floor (0.501823425292969 × 65536)
    floor (32887.5)     		tx = 32887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.517463684082031 × 216)
    floor (0.517463684082031 × 65536)
    floor (33912.5)     		ty = 33912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32887 / 33912 ti = "16/32887/33912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32887/33912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32887 ÷ 216
    32887 ÷ 65536     		x = 0.501815795898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33912 ÷ 216
    33912 ÷ 65536     		y = 0.5174560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501815795898438 × 2 - 1) × π
    0.003631591796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.01140898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5174560546875 × 2 - 1) × π
    -0.034912109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.109679626330688
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01140898} λ = 0.01140898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.109679626330688))-π/2
    2×atan(0.896121182944347)-π/2
    2×0.730667971074082-π/2
    1.46133594214816-1.57079632675     		φ = -0.10946038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01140898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.653686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10946038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.271618°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32887 KachelY 33912 0.01140898 -0.10946038 0.653686 -6.271618
    Oben rechts KachelX + 1 32888 KachelY 33912 0.01150486 -0.10946038 0.659180 -6.271618
    Unten links KachelX 32887 KachelY + 1 33913 0.01140898 -0.10955568 0.653686 -6.277078
    Unten rechts KachelX + 1 32888 KachelY + 1 33913 0.01150486 -0.10955568 0.659180 -6.277078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10946038--0.10955568) × R
    9.53000000000065e-05 × 6371000     		dl = 607.156300000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10946038--0.10955568) × R
    9.53000000000065e-05 × 6371000     		dr = 607.156300000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01140898-0.01150486) × cos(-0.10946038) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.994015191805612 × 6371000     		do = 607.195651056939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01140898-0.01150486) × cos(-0.10955568) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.994004776536185 × 6371000     		du = 607.189288874195m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10946038)-sin(-0.10955568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.994015191805612-0.994004776536185)×R²
    abs(0.01150486-0.01140898)×1.04152694274662e-05×R²
    9.58799999999996e-05×1.04152694274662e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×1.04152694274662e-05×40589641000000     		ar = 368660.733731222m²